Раздел 8. Радиоактивность. Закон радиоактивного распада

Пример 8.1. Радиоактивный натрий с массовым числом 24 распадается, выбрасывая β-частицы. Период полураспада натрия 14,8 ч. Вычислить количество атомов, распавшихся в 1 мг данного радиоактивного препарата за 10 ч.

Решение. Число распавшихся атомов за время t - это разность между начальным числом атомов N₀ и числом нераспавшихся N: ΔN=N₀ –N.

Из закона радиоактивного распада известно, что N=N₀ ℮^-λt, поэтому

ΔN=N₀ – N₀ ℮^-λt = N₀ (1 - ℮^-λt).

Учитывая, что λ=ℓn2/Т, преобразуем это выражение: ΔN=N₀ (1 - 2^-t/Т).

Подставим сюда число атомов, определяемое по формуле N₀ = mN_А/μ, где N_А – число Авогадро, μ –молярная масса данного изотопа натрия. Окончательно получим:

ΔN=(mN_А/μ) (1 - 2^-t/Т).

Произведя расчёт по этой формуле, получим: ΔN≈9,3 ·10¹⁸ атомов.

Пример 8.2. Масса препарата радиоактивного магния ²⁷Mg равна 0,2 мкг. Определить начальную активность препарата и его активность через 1 час. Считать, что все атомы препарата радиоактивны.

Решение. Начальная активность препарата А₀ =λN₀. Постоянная радиоактивного распада λ=ℓn2/T, где Т – период полураспада ²⁷Mg, взятый из справочных таблиц (Т≈600 секунд). Количество атомов препарата в начальный момент N₀ = mN_А/μ, где N_А – число Авогадро, μ –молярная масса данного изотопа магния. С учётом двух последних формул получим:

А₀ = (ℓn2/T) mN_А/μ.

Сделав подстановку числовых значений, получим: А₀ = 5,42 ·10¹² распад/с или

А₀ = 5,42 ·10¹² /3,7· 10¹⁰ = 146 кюри.

Активность препарата уменьшается со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся атомов: А = А₀ · 2^-t/Т. Подставляя числовые данные, получим, что через 1 час активность А = 2,29 кюри.

Пример 8.3. За время Δt=1 сутки активность изотопа уменьшилась от А₁ = 118 ТБк до А₂ =7,4 ТБк. Пользуясь таблицей периодов полураспада, определить, что это за изотоп. Найти также массу изотопа, имеющего активность А₁.

Решение. В соответствии с законом радиоактивного распада отношение активностей изотопа в моменты времени t₁ и t₂ можно записать в следующем виде:

А₁ /А₂ = λN₀ exp(-λt₁)/(λN₀ exp(-λt₂)) = exp(λ(t₂ –t₁)) = exp(λΔt).

Прологарифмировав это соотношение, найдём постоянную распада λ:

λ=ℓn(A₁ /A₂)/Δt.

Воспользовавшись известным соотношением между λ и Т, найдём период полураспада:

Т = ℓn2/λ.

Расчёты по этим формулам дают: λ= 3,2·10^-5 с^-1; Т= 2,16 · 10⁴ с= 6 ч.

По таблице периодов полураспада радиоактивных изотопов находим, что получившийся период Т=6 ч соответствует изотопу ртути ¹⁹³Hg. Найдём массу этого изотопа ртути, имеющего активность А₁ = 1,18 · 10¹⁴ Бк, воспользовавшись известными соотношениями:

N₁ =m₁ N_А /μ; A₁=λN₁.

Следовательно:

m₁ = N₁ μ /N_А = A₁ μ/(λ N_А).

Определив численное значение массы по этой формуле, получим m₁ =1,18·10^{-6 кг.}