2014-02-12
1259
Однородные координаты. Задание геометрических преобразований в однородных координатах с помощью матриц
В предыдущей главе описывались геометрические преобразования на плоскости и в пространстве, а также было показано, как можно использовать аппарат матриц для таких задач. Для преобразований на плоскости применялись двумерные векторы и матрицы размерностью 
. В пространстве, соответственно, с этой же целью использовались трехмерные векторы и матрицы 
. Но такой подход не позволяет задавать с помощью матриц преобразования переноса и проекции. В связи с этим в проективной геометрии был разработан аппарат, позволяющий унифицировать все геометрические преобразования путем введения так называемых однородных координат.
Для пояснения такого подхода сначала рассмотрим случай двумерного пространства. Каждая точка плоскости с координатами 
может одновременно рассматриваться как точка трехмерного пространства с координатами 
, т.е. как точка, лежащая на плоскости 
. С другой стороны, каждой точке трехмерного пространства 
при условии 
соответствует единственная точка этой же плоскости 
. При этом получается, что каждой точке плоскости соответствует прямая, проходящая через начало координат, т. е. устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и множествами 
.
|
|
|
Если теперь рассматривать точку плоскости как принадлежащую трехмерному пространству, то ее двумерные преобразования можно будет описывать с помощью матриц , причем можно будет задавать таким способом не только повороты и масштабирование, но и сдвиги и проекции (как ортографические, так и центральные).
Поворот на угол 
относительно начала координат можно осуществить с помощью новой матрицы поворота:
Операция масштабирования может быть записана в виде
Перенос на вектор 
также можно задать с помощью матрицы:
Проекции точки на оси координат определяются с помощью матриц проекции:
Перейдем теперь к трехмерному пространству. Каждой точке будем ставить в соответствие точку четырехмерного пространства 
, а для выполнения основных преобразований будем использовать матрицы размерностью 
. Строятся они совершенно аналогично тому, как это делалось в двумерном случае. Матрица сдвига на вектор 
имеет вид
матрица масштабирования тоже очевидным образом строится из трехмерной матрицы:
Проекции точек на координатные плоскости осуществляются с помощью матриц (более подробно проекции и их виды будут рассмотрены позднее):
Умножение этих матриц на вектор приводит к тому, что обнуляется одна из координат, и в результате получаем проекцию точки на соответствующую плоскость.
|
|
|
Матрица поворота относительно оси 
на угол выглядит следующим образом:
Отсюда легко понять, как строятся матрицы поворота относительно других координатных осей, а также матрица поворота относительно произвольной оси. Просто берем матрицы, построенные в третьей главе, и расширяем их путем добавления уже известных единичных вектора-строки и вектора- столбца:
Путем объединения приведенных элементарных преобразований можно построить и более сложные. В третьей главе мы использовали произведение простых матриц вращения для построения матрицы поворота относительно произвольной оси. Приведем один пример.
Пусть в пространстве заданы два отрезка - 
и 
. Будем строить матрицу преобразования, переводящую первый отрезок во второй. Это преобразование разложим на следующие элементарные действия.
1. Сдвиг, перемещающий точку 
в точку 
.
2. Сдвиг начала координат в эту же точку.
3. Если отрезки неколлинеарны:
o строится вектор нормали к плоскости, в которой лежат отрезки (для этого можно использовать векторное произведение исходных векторов);
o поворот относительно вектора нормали, совмещающий два отрезка по направлению (угол поворота можно определить с помощью скалярного произведения исходных векторов).
4. Масштабирование с целью выравнивания длины отрезков.
5. Возвращение начала координат в исходную точку.
Каждое из этих преобразований реализуется с помощью матрицы, а полное преобразование можно выполнить, используя произведение матриц.
Использование матриц очень удобно для выполнения преобразований в пространстве, хотя в некоторых случаях это приводит к избыточному числу выполняемых операций. Например, поворот одной точки в пространстве относительно координатной оси 
с помощью матриц в однородных координатах требует 16 операций умножения и 12 операций сложения. В то же время он легко может быть выполнен с помощью формул преобразования
т.е. с помощью всего лишь четырех умножений и одного сложения и одного вычитания. Операции сдвига также гораздо более экономично выполнять без использования матриц. Но когда речь идет о суперпозиции многих преобразований (как, например, в случае поворота относительно произвольной оси), то целесообразно применять соответствующую матрицу поворота. Эффективность матричного подхода очень сильно возрастает, если матричные операции реализованы аппаратно. Вопрос о том, в каких случаях использовать матрицы, а в каких нет, во многом зависит от возможностей вычислительной техники, уровня сложности задачи и требований к временным характеристикам процесса визуализации.
1. Какие геометрические объекты считаются примитивами?
2. Какие требования предъявляются к набору геометрических примитивов?
3. В какой программе впервые в качестве геометрического примитива использовался прямоугольник?
4. Что такое объектная система координат?
5. Что такое система координат наблюдателя?
6. Соответствуют ли размеры объектов в системе координат наблюдателя их реальным размерам?
7. Что такое картинная плоскость?
8. Как называется операция перехода от трехмерной системы координат к двумерной?
9. Что происходит при перенесении изображения с картинной плоскости на экран?
10. Чем отличаются однородные координаты точки от обычных декартовых координат?
11. С какой целью вводятся однородные координаты?
12. Сколько элементарных действий требуется для совмещения двух отрезков в пространстве?
13. Всегда ли использование матриц для выполнения преобразований в пространстве эффективней, чем другие способы их реализации?
---------------------------
----------------------------
