Обратная матрица. Критерий ее существования и формула для вычисления

Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Замечание.

Обратная матрица существует только для квадратных матриц определитель которых не равен нулю.

Свойства обратной матрицы:

●	det(A-1) =   det(A)
●	(A·B)-1 = A-1·B-1
●	(A-1)T = (AT)-1
●	(kA)-1 = A-1 k
●	(A-1)-1 = A

Методы вычисления обратной матрицы

Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Теорема.

Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.

Замечание.

Если при преобразованиях в левой части матрицы образуется нулевая строка (столбец), то исходная матрица не имеет обратной матрицы.

Вычисление обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Определение.

Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.

A-1 =		ÃT
det(A)