Понятие однородных координат

Матрицы применяются для описания элементарных операций над геометрическими примитивами. Для этого вводится понятие однородных координат точки на плоскости.

На плоскости точка в однородных координатах описывается не двумя, а тремя числами. Пусть на плоскости есть точка М с координатами х,у. Тогда ее однородными координатами называются три одновременно не равных нулю числа х₁, х₂, х₃ таких, что .

В машинной графике точке с координатами х, у на плоскости ставится в соответствие точка с координатами х, у, 1 в пространстве (Рис. 5.3). Фактически точка х, у проектируется на плоскость, параллельную координатной и отстоящей от нее на расстояние, равное единице.

Рис. 5.3 - Однородные координаты точки.

В проективной геометрии однородные координаты обычно записываются как х₁:х₂:1. Их также удобно представить в виде hx₁:hx₂:h, где h есть Z - координата проективной плоскости.

Основное преимущество однородных координат - возможность замены операций с вещественными числами на операции с целыми числами. Такая замена является абсолютно необходимой, поскольку целочисленная арифметика на компьютере выполняется в десятки раз быстрее, чем арифметика с плавающей точкой. Например, точка имеет однородные координаты 0,5:0.1:2.5 при h =1. Просто переместим проективную плоскость повыше, приняв h =10. Тогда координаты примут вид 5:1:2.5. Третья координата при выводе на экран не используется, а первые две стали целыми числами.

Рассмотрим матричную запись аффинных преобразований на плоскости (Табл. 5.1).

Табл. 5.1

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ
Перенос на TX, TY
Поворот на угол
Масштабирование с коэффициентами по осям SX, SY

Здесь X, Y, h - однородные координаты произвольной точке в исходной системе координат.

Таким образом, все преобразования сводятся к перемножению матрицы-столбца, содержащей однородные координаты точки, и соответствующей матрицы преобразования. Это позволяет резко упростить алгоритм обработки векторных изображений и повысить его быстродействие.