Определение интеграла по бесконечному промежутку

Вторая теорема Гюльдена

Первая теорема Гюльдена

Предположим, что масса m_k расположена на расстоянии y_k от оси ox (рис. 2.39). Статический момент материальной точки массы m относительно оси ox равен y_k m_k. Статические моменты системы из n точек относительно осей ox, oy равны

M_x=, M_y=

Рис. 2.39

Центр тяжести системы – это точка, обладающая следующим свойством: если в эту точку поместить сосредоточенную массу системы, то статический момент этой точки относительно любой оси совпадает со статическим моментом всей системы относительно этой оси. Выпишем равенство статических моментов дискретной системы относительно осей ox, oy.

XM=,YM=, M=

Тогда для координат центра тяжести системы получис выражения

X=, Y= (2.13)

Если масса распределена вдоль кривой g: x=x (s) ,y=y (s), параметризованной длиной дуги и имеющей линейную плотность распределения массы r(s), то соотношения (2.13) для координат центра тяжести примут интегральный вид

, Y= (2.14)

Если считать, что линейная плотность r(s)=1, то из второго равенства из (2.14) получим

2p Yl= 2p = S.

Последнее соотношение означает, что площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси c равномерно распределенной массой, равна длине этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести этой кривой (первая теорема Гюльдена).

Пример. Пересчитать площадь поверхности тора по теореме Гюльдена.

Объем тела, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и не пересекающей эту фигуру, равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры.

Часть 3. Несобственные интегралы

3.1. Несобственный интеграл первого рода

Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки сходимости.

Пусть функция f (x)определена на [ a, ¥)и интегрируема на любом [ a,R ].

Символ называется несобственным интегралом первого рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

В противном случае он называется расходящимся.

Если a<b, то интегралы, сходятся или расходятся одновременно. Это следует из свойства аддитивности интеграла по множеству

= +.

Аналогично определяется интеграл

=.

Геометрическая интерпретация интеграла. Интеграл представляет собой площадь области D (слайд «Интеграл первого рода»).

Интеграл первого рода

Если f (x) определена и интегрируема на любом [ a,b ] и существуют интегралы,, то величина + не зависит от выбора c.

Действительно,

При условии интегрируемости функции на любом отрезке [ a,b ] определяется интеграл по формуле

= +,

где c некоторое число.

Замечание 1. Непосредственно из определения несобственного интеграла следует следует свойство аддитивности интеграла по множеству. Например, для интеграла и для любого справедливо равенство

Достаточно перейти к пределу в равенстве

Замечание 2. Если существует интегра л =,то. Интеграл иногда назывют остатком интеграла.

Действительно, и, где правая часть будет стремиться к 0 при

Пусть f (x) определена и интегрируема на любом [ a,b ]. Главным значением интеграла по Коши называется величина

V.P. =.

Теорема. Если существует, то V.P. =.

Обратное неверно. Пример. V.P. = 0,в то время, как интеграл расходится.

Пример. Интеграл сходится при p> 1, расходится в противном случае.