Степенной закон фильтрации
, (3.30)
где - модуль вектора градиента фильтрационного давления,
а, n – материальные константы пористой среды. n = 1 – 2. Если n = 2, то формула (3.30) называется формулой Краснопольского, который положил, что при отклонении от закона Дарси зависимость между градиентом давления и скоростью фильтрации квадратичная.
Степенной закон фильтрации можно использовать при любых скоростях фильтрации и при нарушении закона Дарси, т.е. при Re ≥ Reкр.
Спроектируем степенной закон фильтрации на цилиндрическую систему координат и для плоскорадиального фильтрационного потока получим:
При плоскорадиальном движении закон приобретает вид:
, , (3.31)
где с и n – константы, определяемые из опыта или по результатам исследования скважины.
Для вывода формул введем функцию давления для несжимаемой жидкости и совершенного газа соответственно получаем:
, (3.32)
. (3.33)
Расчетные формулы для плоскорадиального течения несжимаемой жидкости и газа по степенному закону
Хар-ка | Несжимаемая жидкость | Совершенный газ |
Распределение давления р (r) rc ≤ r ≤ Rk | ||
Массовый расход | ||
Скорость фильтрации | ||
Распределение давления р (r) | n=2 модель Краснопольского | |
Массовый расход Q m |
Как следует из формулы распределения давления (1 строка табл.) кривая распределения давления для несжимаемой жидкости имеет форму гиперболы степени n-1, т.е. воронка депрессии будет гиперболоидом вращения. Крутизна воронки депрессии у стенок скважины больше, чем у логарифмической кривой плоскорадиального потока (стр.74). Кривая р(r) для газа (формула 1 строка 2 колонка) располагается еще выше, чем для жидкости (при тех же значениях рк и рс). Расчеты показывают, что для любых значений рс, рк, rc, Rк на расстоянии от r = 1 м до стенки скважины теряется более 80% от общей депрессии (рк – рс).
|
|
Массовый расход для жидкости (формула 2 строка 1 колонка) пропорционален депрессии в степени 1/n, поэтому индикаторная линия Q =f(Δp) при 1 < n < 2 будет иметь вид выпуклой к оси дебитов степенной кривой с дробным показателем меньшем 2. В случае фильтрации по закону Краснопольского, как показывает формула (5 строка 1 колонка), индикаторная линия является параболой второго порядка. На рис. 3.8 приведены индикаторные линии для течения несжимаемой жидкости при линейном законе фильтрации (n = 1) и при нелинейных законах: 1 < n < 2 и n = 2. Все сказанное относится также к индикаторным линиям для газа, если строить их в координатах Qm (или QАТ) и . Для жидкости, и для газа величина расхода пропорциональна радиусу скважины в степени (n -1)/n (для закона Краснопольского ), т. е. эта зависимость гораздо более сильная, чем в случае выполнения закона Дарси.
|
|
Скорость фильтрации вдоль линии тока изменяется при нелинейном законе так же, как при линейном, для жидкости ω обратно пропорциональна r, для газа - обратно пропорциональна rр(r).