Неравенство Коши-Буняковского

Метрика. Расстояние

Рассмотрим всевозможные упорядоченные наборы из n- вещественных чисел

x = (x ₁ ,x ₂,…,x_n).

Пользуясь геометрической терминологией, x будем называть точкой, числа x ₁ ,x ₂ ,…,x_n называются координатами точки. Для случаев n= 1,2,3мы имеем дело с точками на прямой, плоскости и в пространстве, соответственно. Для двух точек x = (x ₁ ,x ₂ ,…,x_n), y = (y ₁ ,y ₂ ,…,y_n) величина

r(x,y) =

называется расстоянием между этими точками. Фундаментальными свойствами расстояния являются следующие три свойства.

1) " x,y:r(x,y) ³ 0, r(x,y) = 0 Û x = y

2) " x,y: r(x,y) = r(y,x)

3) " x,y,z:r(x,y) £ r(x,z) + r(z,y) (неравенство треугольника)

Первые два свойства очевидны, третье свойство будет доказано позже. Множество всевозможных точек x с расстоянием r(x,y), удовлетворяющим свойствам 1)-3) называется метрическим пространством. Обозначим это пространство Rⁿ.

В пространстве Rⁿ введем операции сложения между элементами этого множества и операцию умножения на вещественные числа по правилам:

x + y =(x ₁ + y ₁ ,x ₂ + y ₂ ,…,x_n+ y_n), l x = (l x ₁, l x ₂ ,…, l x_n),

где x = (x ₁ ,x ₂ ,…,x_n), y = (y ₁ ,y ₂ ,…,y_n).

В двухмерном и трехмерном пространстве эти операции интерпретируются, как операциями над радиус-векторами, соответствующих точек.

Рис. 4.1

1) Величина - называется скалярным произведением и обозначается (x,y). Величина называется нормой и обозначается ||x||.

В терминах нормы неравенство Коши-Буняковского можно записать в виде

| (x,y) |£||x|| ||y||.

Доказательство неравенства Коши-Буняковского.

0 £ ||x+ l y|| ² = =||x|| ² + 2l(x,y)+l² ||y|| ² =a l² + 2l b+c.

Так как это неравенство (a l²+2l b+c ³ 0)справедливо для всех l, то для дискриминанта квадратного трехчлена a l²+2l b+c будет выполнено неравенство b ² – ac £ 0,или (x,y)²£ ||y|| ² ||x|| ², откуда и следует требуемое утверждение.

Теорема. Для нормы справедливо неравенство ||x+y|| £ ||x|| + ||y||.

Доказательство.

||x+y|| ² = £ ||x|| ² + 2 ||x|| ||y||+ ||y|| ² = (||x||+||y||)².

Фундаментальные свойства нормы.

1) ||x|| ³0, ||x||= 0 Û x =q, (q= (0,0,…,0)),

2) || l x|| = | l | ||x||,

3) ||x+y||£ ||x||+||y||.

Фундаментальные свойства скалярного произведения.

1) (x,x)³0, (x,x)=0Û x =q, (q= (0,0,…,0))

2) (x,y) = (y,x)

3) (l x,y) = l(x,y)

4) (x+y,z) = (x,z) + (y,z).

Определение. Пространство Rⁿ со скалярным произведением (x,y) называется евклидовым пространством.

Отметим, что между введенными понятиями, расстоянием, нормой и скалярным произведением имеются следующие равенства: r(x,y) =||x - y||, (x,x) =||x|| ².

Доказательство неравенства треугольника для расстояния.

r(x,y) =||x - y||=||x – z + z - y|| £ ||x - z||+||z - y||= r(x,z)+ r(z,y).

4.1.3. Геометрическая терминология в Rⁿ

(n – мерный) открытый шар радиуса e c центром в точке x ₀ или e окрестность точки x ₀:

U _e(x ₀)={ x Î Rⁿ:r(x,x ₀)<e }.

(n – мерный) замкнутый шар радиуса e c центром в точке x ₀:

_e(x ₀) = { x Î Rⁿ:r(x,x ₀)£e }.

(n – мерная) сфера радиуса e c центром в точке x ₀:

S _e(x ₀) = { x Î Rⁿ:r(x,x ₀) = e }.

В пространстве Rⁿ (n> 1) под окрестностью ¥ понимается любое множество вида { x Î Rⁿ:r(x,x ⁰)> r }, для произвольного числа r, и произвольной точки x ⁰.

(n – мерный) параллелепипед: B= [ a ₁ ,b ₁]´ [ a ₂ ,b ₂]´…´ [ a_n,b_n ].

Пример. Одномерная проекция (на R ¹) двухмерного параллелепипеда (квадрата) (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Двухмерная проекция (на R ²) трехмерного параллелепипеда (куба) (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Трехмерная проекция (на R ³) четырехмерного параллелепипеда (четырехмерного куба) (рис. 4.4, слайд «Куб 4»).

Рис. 4.4

Куб 4

В этом случае эту проекцию надо себе представлять в виде скелета из ребер в нашем трехмерном пространстве. На рисунке же изображена плоская картинка, то есть еще одна проекция этой трехмерной проекции на плоскость рисунка (двойная проекция: из R ⁴ в R ³, затем из R ³ в R ².

Проколотая окрестность точки: = { x Î Rⁿ:0 < r(x,x ₀) < e }.

Внутренняя точка множества – точка, которая принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью.

Открытое множество – множество, все точки которого внутренние.

Предельная точка множества – точка, в любой окрестности которой содержится хотя бы одна точка множества, отличная от нее самой (или, что тоже, в любой окрестности этой точки содержится бесконечно много точек из данного множества).

Замкнутое множество – множество, содержащее все свои предельные точки.

Пример. Для _e(x ₀)множество внутренних точек совпадает с U _e(x ₀). _e(x ₀) – замкнутое множество. U _e(x ₀) – открытое множество.