2014-02-09
453
Формула замены переменного
Теорема (Признак абсолютной сходимости, основанный на сравнении подинтегральных функций)
Если |f (x) |£ g (x), x Î[ a,+ ¥) (или x Î[ a,b ]), то из сходимости интеграла следует абсолютная сходимость интеграла. Из условной сходимости интеграла следует расходимость интеграла.
3.2.2. Свойства несобственных интегралов. Интегрирование по частям
Простейшие свойства несобственных интегралов.
Если сходятся интегралы,, то будет сходиться и интеграл (a,b - константы), при этом
= +.
Интегрирование по частям. Если u (x), v (x) непрерывно дифференцируемы на [ a,+ ¥) и существуют какие-либо два из трех выражений
,,,
то существует и третье и
= -.
Доказательство. Перейти к пределу при R ®¥в равенстве для собственных интегралов = -.
Аналогичные свойства имеет место для несобственных интегралов второго рода.
Пусть f(x) непрерывна на [ a,b) (b - число или символ +¥), j(t) – непрерывно-дифференцируема и строго монотонно возрастает на [a,b), a < b £ ¥, причем
a = j(a),, тогда
.
Доказательство. В силу строгой монотонности функции j(t) для " R Î[ a,b)$ r: j(r) =R.
Отметим, что при будет и (слайд «Суперпозиция»).
Суперпозиция
Далее следует перейти к пределу в равенстве
, (r ®b, R®b).
Замечание 1. В формуле замены переменной функция j может быть строго монотонно убывающей. Тогда в формулировке теоремы появятся соответствующие изменения j(b) =a,, (рис. 3.4).
Рис. 3.4
Замечание 2. Формула замены переменного справедлива и без условия монотонности функции j.
Например, пусть функция jимеет три интервала монотонности (см. рис. 3.5)
Рис. 3.5
Тогда
,,.
Складывая эти равенства, получим ту же формулу замены переменного и для данного случая
.
Замечание 3. Несобственный интеграл 1-го рода может быть подходящей заменой сведен к несобственному интегралу 2-го рода и наоборот.
Пример 1..
При некоторых заменах переменной вновь полученный интеграл может оказаться собственным (см. пример 2).
| Пример 2. | Рис. 3.6 |
Гамма- функция Эйлера G(p) =, определена при p > 0.
Для доказательства сходимости интеграла в области p > 0 отметим, что в окрестности 0 подинтегральная функция эквивалентна функции, интеграл от которой сходится при условии 1- p < 1, то есть p > 0.В окрестности + ¥, подинтегральную функцию можно сравнивать с функцией (имеющей сходящийся интеграл), именно, или. Существование константы C, для которой эти неравенства будут выполнены, следует из соотношений
, при p > 0.
Далее можно воспользоваться простейшим признаком сравнения.
Легко проверить, что G(1) = 1(вычислить интеграл), G(p +1) = p G(p).Последнее равенство следует из формулы интегрирования по частям
G(p) = = G(p+ 1).
Бета-функция Эйлера определяется по формуле
B (p,q) =, определена для p > 0, q > 0.
Часть 4. n – мерное евклидово пространство
4.1. Основные определения
Метрические пространства, норма, скалярное произведение. Неравенство Коши-Буняковского. Сходимость.
