Сходимость в метрическом пространстве

Последовательность { x^k }={(} называется сходящейся, если существует точка x такая, что. При этом пишут x^k ® x или.

Фундаментальная последовательность. Последовательность { x^k } называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши:

"e>0 $ M " m>M " p:r(x^m⁺^p,x^m)<e

Из определения расстояния следуют неравенства

(4.1)

Неравенства (4.1)позволяют установить

Теорема 1. Последовательность { x^k } фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны последовательности ее координат, j= 1,2,…, n.

Неравенства аналогичные (4.1)можно выписать и для сходящейся последовательности x^k® x. Именно

(4.2)

Из (4.2)следует

Теорема 2. Последовательность { x^k } сходится к точке x тогда и только тогда, когда последовательности ее координат, j= 1,2,…, n сходятся к соответствующим координатам точки x:

Следствие (Критерий Коши сходимости последовательности). Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Теорема 3. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть x^k® x. Дляe = 1 $ M "m > M: r(x^m,x) < 1. Тогда для " k:r(x^k,x) £ max[1, ]. То есть, все члены последовательности попали в шар радиуса max[1, ] с центром в точке x.

Лемма (О стягивающихся к нулю вложенных параллелепипедах). Для последовательности вложенных параллелепипедов, диагональ которых стремится к нулю, существует единственная общая точка.

Доказательство. Для n = 2. Дана системавложенных прямоугольников (слайд «Вложенные прямоугольники»)

{ B_k }={[ a_k,b_k ]´[ c_k,d_k ]}, B_k₊ ₁ Ì B_k, d (B_k)®0. Рассмотрим системы вложенных отрезков для каждой из координат:

Вложенные прямоугольники

[ a ₁,b ₁]É [ a ₂ ,b ₂]É… É [ a_k,b_k ] É …, b_k – a_k ® 0Þ $xобщая для всех[ a_k,b_k ].

[ с ₁, d ₁]É [ c ₂, d ₂]É… É [ c _k, d _k] É…, d _k – c _k ® 0 Þ $hобщая для всех[ c_k,d_k ].

Точка (x,h) - искомая.

Теорема Больцано-Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Дана ограниченная последовательность { x^k }={(}точек из Rⁿ. Последовательности координат будут ограниченными (это следует из неравенств (4.2)). Из последовательности первых координат {} выберем сходящуюся подпоследовательность {}. Последовательность {} ограничена и из нее так же можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Продолжая таким образом дальше получим:

{} ограничена Þ {} сходится

…

{} ограничена Þ { } сходится.

В результате n – шагов будет построена подпоследовательность номеров натуральных чисел { s_k }, такая, что сходящимися будут все подпоследовательности координат по этим номерам. ® x ₁, ® x ₂ ,…, ® x_n или ® x= (x ₁, x ₂ ,…,x_n).