2014-02-09
1144
Пример 2.
Теорема 2.
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости
Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла с особенностью в точке b необходимо и достаточно, чтобы
"e>0$d>0" x ¢ ,x ¢¢, b - d < x ¢ ,x ¢¢ <b: < e.
Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела =
"e>0$d>0" x ¢, x ¢¢, b - d < x ¢, x ¢¢ <b:| F (x ¢¢) -F (x ¢) |< e.
Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0 £ f (x) £ g (x), то
сходится Þ сходится
расходится Þ расходится
Доказательство. Утверждение непосредственно следует из соотношений (считаем x ¢ <x ¢¢)
.
Следствие 1. Если f (x)³ 0, g (x)³ 0 и f (x ) =O ( g (x)), x®b, то
сходится Þ сходится
расходится Þ расходится.
Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f (x)³ 0, g (x)> 0 ,, то
1) если 0 < k <+¥, то поведение интегралов, в смысле сходимости эквивалентно.
|
|
|
2) если k= 0, то сходимость Þ сходимость.
3) если k=¥, то расходимость Þ расходимость.
Доказательство. По определению предела для заданного e существует такое, что для
будут выполнены неравенства
или
(3.2)
В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (3.2), если взять e= k /2.В случае k= 0следует рассмотреть правое неравенство из (3.2) для какого-нибудь e, например, e=1.
Если $ c > 0 $ p < 1 " x, x Î[ a,b): 0 £ f (x)£, то интеграл сходится.
Если $ c > 0 $ p ³ 1 " x, x Î[ a,b): f(x)³, то интеграл расходится.
Утверждение следует из простого признака сравнения.
Теорема 3 (Второй предельный признак сравнения). Если существует, (0 < k < + ¥), то
при p < 1 интеграл сходится,
при p ³ 1 интеграл расходится.
При k = 0 и p < 1 интеграл сходится,
при k = +¥, p ³ 1 интеграл расходится.
Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.
Замечание. Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов с особенностями в левом конце или во внутренней точке.
Пример 1..
Пример 3.
3.2. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения.
Абсолютная и условная сходимость. Интегрирование по частям, замена переменного. Формулы Эйлера.
Несобственный интеграл (или)называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл (или, для интеграла 2-го рода,).
Критерий Коши абсолютной сходимости. Для абсолютной сходимости интеграла первого рода необходимо и достаточно выполнение условия
"e>0 $ M " R ¢, R ¢¢, M < R ¢ < R ¢¢: <e.
Для абсолютной сходимости интеграла второго рода с особенностью в точке b необходимо и достаточно выполнение условия
|
|
|
"e>0 $d " x ¢, x ¢¢, b - d < x ¢ < x ¢¢ < b: <e.
Замечание. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.
Это следует из неравенства и критерия Коши.
Обратное, вообще говоря, неверно.
Пример., сходятся абсолютно, так как для подинтегральных функций справедливы неравенства.
Пример. Интеграл сходится. Действительно,
.
Пример. Интеграл расходится.
Действительно, для интеграла можно записать следующее неравенство
.
Так как интегралсходится, а второй интеграл расходится, то и интеграл будет расходящимся.
Определение. Несобственный интеграл (или) называются условно сходящимся, если (или) сходится, а интеграл (или) расходится.
Пример. Интеграл, как это следует из предыдущих примеров, сходится условно.
Теорема (Признак Абеля). Пусть f и g определены на [ a,+ ¥). f (x) интегрируема на [ a,+¥), g (x ) монотонна и ограничена, тогда сходится.
Доказательство. По третьей теореме о среднем (R¢<R¢¢)
.
Правую часть в этом равенстве можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно больших.
Теорема (Признак Дирихле). Пусть f и g определены на [ a,+ ¥).
1) f (x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную
£ K, для "A ³ a,
2) g (x) монотонна и стремится к 0 при x®¥,
тогда сходится.
Доказательство. По третьей теореме о среднем (R¢<R¢¢)
Правую часть в этом равенстве можно сделать сколь угодно малой выбором достаточно больших.
.
Пример.,a>0, сходится по признаку Дирихле. Для этого в качестве функции
нужно взять sin x, а в качестве функции g (x) нужно выбрать функцию.
