Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Простейшие признаки сходимости

Теорема (Критерий Коши). Для сходимости интеграла необходимо и достаточно, чтобы "e>0$ M " R ¢, R ¢¢, R¢ >M,R ¢¢ > M: < e.

Эта теорема непосредственно следует из критерия Коши существования конечного предела.

"e>0$ M"R ¢ ,R ¢¢ >M: |F (R ¢¢) -F (R ¢) |< e.

Теорема 1 (Простой признак сравнения для несобственного интеграла от неотрицательных функций). Если 0£ f (x) £ g (x), то

сходимость Þ сходится

расходится Þ расходится

Доказательство. Первое утверждение непосредственно следует из соотношений

(для определенности можно считать R ¢ < R ¢¢) и критерия Коши.

Второе утверждение доказывается от противного. Если расходится, а сходится, то по первому утверждению и должен сходиться.

Следствие 1. Если f (x)³ 0, g (x)³ 0 и f (x) =O (g (x)), x ®¥, то

сходится Þ сходится

расходится Þ расходится.

Следствие 2 (Предельный признак сравнения). Если f (x)³ 0, g(x)> 0,, то

1) если 0< k<+¥, то поведение интегралов, в смысле сходимости эквивалентно.

2) если k= 0, то сходимость Þ сходимость.

3) если k= ¥, то расходимость Þ расходимость.

Доказательство. По определению предела для заданного e для достаточно больших x будут выполнены неравенства

или

(3.1)

В первом случае утверждение следует из доказанной теоремы и неравенств (3.1), если взять e =k /2.В случае k= 0следует рассмотреть правое неравенство из (3.1) для какого-нибудь e, например, e=1. В случае k= ¥ для B= 1 найдется M такое, что при будет выполнено

или при x > M. Тогда Так как, то и.

Теорема 2. Если 0 £ f (x)£ для всех x, 0 < a £ x < +¥, где c > 0, p > 1, то интеграл сходится.

Если f(x) ³ для x, 0 < a £ x <+ ¥ и c > 0, p £ 1, то интеграл расходится.

Утверждение следует из простого признака сравнения.

Теорема 3 (Второй предельный признак сравнения). Если существует, (0 < k < +¥), то

при p > 1 интеграл сходится,

при p £ 1 интеграл расходится.

При k = 0 и p > 1 интеграл сходится,

при k = +¥, p £ 1 интеграл расходится.

Утверждение теоремы следует из первого предельного признака сравнения.

Замечание. Аналогичные утверждения (Теоремы 1-3 и следствия имеют место для интегралов вида.

3.1.3. Несобственный интеграл второго рода

Пусть функция f (x)определена на [ a,b)и интегрируема на любом [ a,b- e], не ограничена в окрестности точки b.

Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся.

В рассматриваемом случае, говорят об особенности в точке b (рис. 3.1, слайд «Интеграл 2-го рода, особенность справа»).

Рис. 3.1

Интеграл 2-го рода, особенность справа

Аналогично определяется интеграл 2-го рода для функции с особенностью в точке a.

Пусть функция f (x)определена на (a,b ]и интегртируема на любом [ a+ e, b ], не ограничена в окрестности точки a.

Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если существует конечный предел

=.

Если этот предел существует, то он называется сходящимся, иначе расходящимся (рис. 3.2, слайд «Интеграл 2-го рода, особенность слева»)

Рис. 3.2

Интеграл 2-го рода, особенность слева

Для случая с особенностью в точке b интегралы, сходятся или расходятся одновременно (a ₁ ,a ₂ любые числа из(a,b)). Это следует из свойства аддитивности интеграла по множеству:

Рассмотрим теперь случай с особенность во внутренней точке c Î (a,b) отрезка [ a,b ].

Пусть f (x) определена на [ a,c)È (c,b ], интегрируема на любых[ a,с -e] и[ c+ e ,b ], не ограничена в окрестности точки c. Символ называется несобственным интегралом второго рода. Интеграл сходится, если сходятся оба интеграла,. В этом случае полагают

= +.

В случае расходимости одного или обоих интегралов, интеграл называется расходящимся. Из перечисленных свойств следует свойство аддитивности интеграла второго рода по множеству (рис. 3.3, слайд «Интеграл 2-го рода»).

Рис. 3.3

Интеграл 2-го рода

Главным значением интеграла по Коши называется предел

V.P. =.

Теорема. Если существует, то V.P. =.

Обратное неверно. Пример. V.P. =0, в то время, как интеграл расходится.

Пример. Интеграл сходится при p < 1, расходится в противном случае.

В более общем случае, интеграл сходится при p < 1, расходится в противном случае.

Пример..