Графическое решение матричной игры

Если число стратегий одного из игроков равно двум, то для нахождения оптимальных стратегий можно легко воспользоваться графическим методом.

Пусть платежная матрица имеет вид

Для произвольной стратегии второго игрока, контролирующего столбцы, имеем выигрыш первого игрока

поскольку, как сказано раньше,

, .

Графиком зависимости будет некоторая прямая. Для разных стратегий, то есть для разных , получаются разные прямые.

На рис. 6.1 изображен случай для игры 23. Из принципа минимакса следует, что надо взять нижнюю огибающую всех прямых, соответствующих стратегиям второго игрока (она показана на рисунке жирной линией), а на этой ломаной, обязательно обращенной выпуклостью вверх, надо найти вершину, имеющую максимальное значение v*. Абсцисса этой точки x * и будет искомым значением p ₁ *.

Геометрически можно определять и оптимальную стратегию игрока В для игры , но в этом случае строится не нижняя, а верхняя граница выигрыша и на ней определяется не максимум, а минимум.

Рис. 6.1. Графическое нахождение цены игры

Пример 6.4. Решить графически игру, заданную платежной матрицей:

Для игрока А решение представлено на рис. 6.2. Находя точку пересечения соответствующих прямых, получаем N (0,6; 1,8).

Рис. 6.2. Решение матричной игры для игрока А

Следовательно, оптимальная стратегия игрока А заключается в выборе стратегии А ₁ с вероятностью 0,6 и стратегии А ₂ с вероятностью 0,4 = 1 – 0,6. При этом цена игры v = 1,8.

Для игрока В решение представлено на рис. 6.3. Находя точку пересечения соответствующих прямых, получаем М(0,2; 1,8).