Лекция 16 Соответствия и отображения

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение бинарного отношения.

2. Описать операции, выполняемые с бинарными отношениями.

3. На множестве прямых на плоскости рассмотрим отношения: а) параллельность прямых,

б) перпендикулярность прямых. Определить будут ли эти отношения отношениями эквивалентности.

4. Дано множество: люди, живущие в одной стране. Задать какое либо отношение эквивалентности и разбить данное множество на классы эквивалентности.

5. К какому типу отношения порядка относятся следующие отношения: схема организации подчинения в учреждениях.

ТЕМА: СООТВЕТСТВИЯ И ОТОБРАЖЕНИЯ

ПЛАН:

1. Соответствие
2. Функция
3. Отображение
4. n –местная функция
5. Обратная функция
6. Свойства отображений

Главная

1. Соответствие

1.1. Основные понятия

Определение: Соответствием называется какое – либо правило, с помощью которого элементу а из множества А ставится в соответствие элемент b из множества В.

Таким образом, соответствие есть множество G пар (a; b), где и .

Множество значений а называется областью определения, а множество значений b называется областью значений соответствия G.

Если область определения есть множество А, то соответствие называется всюду определенным.

Если область определения строгое подмножество множества А, то соответствие называется частично определенным.

Примеры:

а). Соответствие х ≤ у, где . Область определения данного соответствия , значит, соответствие всюду определенное.

б). Соответствие , где . Область определения данного соответствия х≥3, значит, соответствие частично определенное.

в). Соответствие между множеством учеников класса и действующих в школе кружков. Если каждый ученик класса посещает хотя бы один кружок, то соответствие всюду определенное, если хотя бы один ученик не посещает ни одного кружка, то соответствие – частично определенное.

Множество всех элементов называются образами а в В при данном соответствии.

Множество всех , которым соответствуют b, называются прообразами b в А при данном соответствии.

Для соответствия между множеством учеников класса и множеством кружков образами являются кружки, а прообразами – ученики.

Виды соответствий

Если образом элемента а из области определения является единственный элемент b из области значений, то такое соответствие называется функциональным.

Примеры:

а). , область определения – любые действительные числа, область значений – неотрицательные числа. Причем каждому х соответствует единственное у. Значит, соответствие функциональное.

б). , область определения и область значений – действительные числа, удовлетворяющие данному равенству. Но для всех х ≠ 0 из области определения соответствуют по два образа. Значит, это соответствие не является функциональным.

Всюду определенное соответствие G , область значений которого есть множество В, каждому элементу соответствует единственный образ , и каждому соответствует единственный прообраз , называется взаимнооднозначным соответствием.

Примеры:

а). у = кх + b, где область определения и область значений – действительные числа, взаимнооднозначное соответствие, т.к. каждому х соответствует единственный у и наоборот.

б). у = х², где область определения – действительные числа, а область значений - неотрицательные числа. Не является взаимнооднозначным соответствием, т.к. любому положительному образу соответствует по два прообраза.

Заметим, что взаимнооднозначное соответствие является в свою очередь функциональным.

Рассмотрим примеры различных соответствий и определим их вид:

а). , соответствие - это все точки координатной плоскости, т.е. . Причем, для каждого прообраза х соответствует бесконечное множество образов у, и наоборот. Значит, это соответствие не является функциональным, и тем более взаимнооднозначным.

б). - круг, на границе которого отмечены точки А, В, С. Область определения – числовой отрезок [2; 4], область значений - числовой отрезок [1; 3].

Дуга окружности АВС – является функциональным соответствием между [2; 4] и [1; 3]- каждому прообразу х соответствует единственный образ у.

Дуга окружности ВС – это взаимнооднозначное соответствие, т.к. каждому прообразу х соответствует единственный образ у и наоборот.

Круг не является функциональным соответствием, т.к. каждому прообразу х соответствует бесконечное множество образов у.

в). Позиция фигуры на шахматной доске - это взаимнооднозначное соответствие, т.к. каждому прообразу – шахматной фигуре соответствует единственная клетка – образ и наоборот.

Функция

Функцией называется функциональное соответствие между множествами А и В, и обозначается f, или f: A → В, или f(a) = b. Причем, а называется аргументом функции, а b – значением функции.

Определение функции можно сформулировать, используя понятие бинарного отношения:

Бинарное отношение f называется функцией, если из и следует, что y = z.

1. 4. Отображение

Всюду определенная функция f(a) = b называется отображением А в В.

Следовательно, область определения такой функции D(f) = A, а область значений E(f) B.

Если область значений E(f) = B, то такое отображение называют отображением А на В.

Если f(a) состоит из единственного элемента, то функция называется постоянной или константой.

Отображение А→ А (А на А) называется преобразованием множества А.

Примеры:

а). f(x) = 2^x, где , есть отображение N в N, т.к. область значений E(f) не все натуральные числа, т.е. .

Если за область значений принять множество четных чисел М = {2, 4, 6,…}, то это отображение будет уже N на M, т.к. .

б). Рассмотрим соответствие между различными множествами и определим вид каждого соответствия:

f: N → N – это частично определенная функция, но не отображение, т.к. D(f) N.

f: N → R – это отображение N в R, т.к. E(f) R.

f: R₊ → R – это отображение R₊ в R, т.к. E(f) R.

f: R₊ → R₊ – это отображение R₊ на R₊ , т.к. E(f) = R или преобразование множества R.

1.5. Обратная функция

Обратное соответствие: Дано соответствие . Если соответствие таково, что тогда и только тогда, когда , то соответствие Н называется обратным к G и обозначается G^-1.

Обратное соответствие – есть обратное бинарное отношение, т.к.

Рассмотрим вопрос о том, в каком случае обратное соответствие будет являться обратной функцией.

В обратном соответствии образы и прообразы меняются местами. Тогда, если дана функция f: A→ B, то для нее существует обратная функция f^-1 тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием.

Если функция f является всюду определенной, т.е. является отображением, то для нее существует обратное отображение тогда и только тогда, когда область определения есть множество А, т.е. D(f) = A, и область значений есть множество B, т.е. E(f) = B.

Примеры:

а). y = sinx, где , Это отображение R в R. Данная функция отображает отрезок на отрезок [-1; 1]. Значит, существует обратная функция f^-1: y = arcsinx, которая отображает отрезок [-1; 1] на отрезок .

б). у = 2^х – эта функция задает отображение R на R₊. Обратная функция f^-1: y = log₂x задает отображение R₊ в R.

в). у = х² – 4, где D(f) = R - эта функция не является взаимнооднозначным соответствием, поэтому для нее не существует обратная функция, но существует обратное отображение f^-1: .