2014-02-12
677
Уравнение вида
, (4.26)
в котором у является линейной функцией от х с коэффициентами, зависящими от 
, причем коэффициент при х не равен 
, называется уравнением Лагранжа. Построение его общего решения в параметрической форме сводится к интегрированию линейного уравнения.
Положим 
, где р – параметр, тогда уравнение (4.26) принимает вид:
. (4.27)
Заменив в равенстве 
величину dy ее значением из (4.27), а вместо 
подставим р:
или
. (4.28)
Уравнение (4.28) можно привести к линейному уравнению с искомой функцией х, если разделить обе его части на dp и 
. После выполнения этих действий, получим
. (4.29)
Поскольку уравнение (2.29) линейно относительно х и 
и, следовательно, легко интегрируется, например методом вариации произвольной постоянной. Получив интеграл Ф (х,р,С) = 0 уравнения (4.29) и присоединяя к нему уравнение (4.27), получим
. (4.30)
Эти уравнения определяют искомые интегральные кривые.
При переходе от уравнения (4.28) к уравнению (4.29) пришлось делить на . Но при этом мы потеряли решения, если они существуют, для которых р постоянно, а значит 
. Считая р постоянным, замечаем, что уравнение (4.28) удовлетворяется лишь в том случае, когда р является корнем уравнения
|
|
|
. (4.31)
Итак, если уравнение (4.31) имеет действительные корни 
, то к найденным выше решениям уравнения Лагранжа надо добавить еще
. (4.32)
Эти прямые линии могут оказаться особыми решениями уравнения Лагранжа.
Пример 4.9. Найти решения уравнения: 
.
▲ Полагая в этом уравнении 
, будем иметь
.
Дифференцируя обе части этого уравнения по р, получим
подставляя р = 0 в равенство , находим у = 0.Это также является решением исходного уравнения, и притом частное. ▲
Пример 4.10. Найти решения уравнения: 
.
▲ Полагая в этом уравнении , будем иметь
или 
. (П4.10.1)
Продифференцируем это равенство:
Производя замену 
, приходим к уравнению:
Отсюда, сокращая на р, получаем уравнение с разделяющимися переменными:
или 
.
Интегрируя это уравнение, получим:
или 
.
Подставив это уравнение в (П4.10.1), получим: 
.
При сокращении на р мы потеряли особое решение; полагая р = 0, находим из данного уравнения у = 0: это и есть особое решение.
Следовательно,
- общее решение исходного уравнения,
а у = 0 – особое решение.
В общем решении параметр р можно исключить и привести его к виду:
.▲
