Неполные уравнения

Уравнение (4.1) имеет вид

, (4.7)

причем существует, по крайней мере, один действительный корень этого уравнения.

Так как уравнение (4.7) не содержит х и у, то k_i – постоянное. Следовательно, интегрируя уравнение , получим , или , но k_i является корнем уравнения (4.7), следовательно,

, (4.8)

является интегралом рассматриваемого уравнения.

Пример 4.3. Записать общий интеграл уравнения:

▲ Так как , а , то общий интеграл исходного уравнения согласно (4.8) будет иметь вид:

.▲

Уравнение (4.1) имеет вид

. (4.9)

Для решения таких уравнений целесообразно ввести параметр t и заменить уравнение (4.9) двумя уравнениями:

. (4.10)

Так как , то в данном случае , откуда

, (4.11)

и, следовательно, интегральные кривые уравнения (4.9) определяются в параметрической форме следующими уравнениями:

(4.12)

Если уравнение (4.9) легко разрешимо относительно х, , то почти всегда удобно в качестве параметра ввести . Тогда интегральные кривые уравнения (4.9) определяются в параметрической форме следующими уравнениями:

(4.13)

Пример 4.4. Найти решение уравнения: .

▲ Введем параметр , тогда

Следовательно, семейство искомых решений определяют уравнения:

.▲

Пример 4.5. Записать решение уравнения: .

▲ Для решения этого уравнения необходимо ввести параметр в виде

, причем ;

тогда

или, исключая параметр t из уравнений

получим - семейство окружностей. ▲

Уравнение (4.1) имеет вид

. (4.14)

Этот вид уравнений, так же как и предыдущий более целесообразно решать, вводя параметр t и заменяя уравнение (4.14) двумя уравнениями (4.10). Так как , то , откуда , следовательно, искомые интегральные кривые в параметрической форме определяются уравнениями:

(4.15)

Если уравнение (4.14) легко разрешимо относительно у, то удобно за параметр взять . Действительно, если , то, полагая , получим , а искомые интегральные кривые определяются уравнениями:

(4.16)

Пример 4.6. Записать решение уравнения:

▲ Для решения этого уравнения необходимо ввести параметр в виде , тогда

а искомое решение определяется уравнениями:

.▲

Рассмотрим общий случай. Пусть для уравнения (4.1) существую такие функции

, (4.17)

что

относительно параметров u и v из некоторой области их задания. Тогда, используя соотношение , получаем

, (4.18)

откуда

. (4.19)

Если уравнение (4.19) имеет общее решение , то общее решение исходного уравнения записывается в параметрической форме

. (4.20)

Если уравнение (4.1) легко разрешимо относительно у, то за параметры u и v удобно брать х и . Действительно, если уравнение (4.1) приводится к виду

, (4.21)

то, считая х и параметрами, получим

или

. (4.22)

Интегрируя уравнение (4.22), получим Ф (х,р,С) = 0. Совокупность уравнений

Ф (х,р,С) = 0 и , (4.23)

где р – параметр, определяет семейство интегральных кривых исходного уравнения.

Если уравнение (4.1) легко разрешается относительно х:

. (4.24)

то в этом случае взяв за параметры у и и пользуясь зависимостью , получим

или

. (4.25)

Интегрируя уравнение (2.25), получим Ф (у,р,С) = 0, которое совместно с уравнением (4.24) будет определять все решения уравнения (4.1).

Пример 4.7. Найти решения уравнения: .

▲ Это уравнение допускает параметрическое представление

Пользуясь равенством , получаем откуда или . Это уравнение распадается на два уравнения:

и 2 р - х = 0.

Первое из них дает р = х + С. Подставляя это значение р в выражение для у, получаем

Это общее решение исходного уравнения.

Из второго уравнения 2 р – х = 0 находим р = х/ 2. Подставляя это значение р также в выражение для у, получаем . Это также решение исходного уравнения и притом особое. ▲