Уравнение Клеро

10 11 12 13 14 15 16

Уравнение вида

, (4.33)

называется уравнением Клеро. Оно отличается от уравнения Лагранжа только тем, что в нем коэффициент при х равен .

Полагая , где р – параметр, получим:

. (4.34)

Дифференцируя по х, будем иметь:

или , (4.35)

откуда

или

В первом случае, исключая р, получим

(4.36)

- однопараметрическое семейство интегральных кривых.

Во втором случае решение определяется уравнениями

и . (4.37)

Нетрудно проверить, что интегральная кривая, определяемая уравнениями (4.37), является огибающей семейства прямых (4.36).

Действительно, огибающая некоторого семейства Ф (х,у,С) = 0 определяется уравнениями

, (4.38)

которые для семейства (4.36) имеют вид

, ,

и лишь обозначением параметра отличаются от уравнений (4.37).

Пример 4.11. Найти решения уравнения: .

▲ Это уравнение Клеро. Полагая в этом уравнении , будем иметь:

. (П4.11.1)

Отсюда:

или

Наконец,

. (П4.11.2)

Это уравнение может выполняться для функций двух видов:

1. Для таких функций у (х), для которых dp = 0, т.е. функций вида:

у =Сх+С₁.

Но не все линейные функции этого вида удовлетворяют данному уравнению, а лишь те, которые имеют вид:

. (П4.12.3)

Это есть общий интеграл исходного уравнения Клеро (он получается из уравнения (П4.11.1) простой заменой на С).

2. Уравнение (П4.11.2) выполняется и для таких функций у (х), для которых выполняется тождество

Присоединяя это уравнение к уравнению (П4.11.1), мы также получаем решение исходного уравнения:

которое будет особым решением.

Исключение р из этой системы, приводит к уравнению:

Если общее решение (П4.11.3) выражает однопараметрическое семейство прямых, то особое решение выражает равнобочную гиперболу. Эта гипербола служит огибающей семейства прямых (П4.11.3).▲

Пример 4.12. Найти решения уравнения: .

▲Введем параметр, обозначая , тогда исходное уравнение будет иметь вид:

. (П4.12.1)

Выразим у через р для чего из последнего равенства выразим dx, используя равенство :

Следовательно,

Интегрируя последнее уравнение, получим

. (П4.12.2)

Равенства (П4.12.1) и (П4.12.2) совместно выражают в параметрической форме общее решение исходного уравнения Клеро:

. ▲

Пример 4.13. При детальном изучении поверхности выработки необходимо сфокусировать световое излучение таким образом, чтобы освещенность поверхности была максимальной. Для этого необходимо определить меридиан поверхности вращения зеркала, обеспечивающий фокусировку световых лучей, падающих на его поверхность параллельно оси вращения, которые после отражения сходились бы в одной точке на оси вращения.

▲ Пусть фокус будет началом принятой нами системы координат (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Луч Р падает в точку М поверхности зеркала и, отразившись, проходит через фокус F. В точке М проводим касательную, пересекающую ось абсцисс в точке Q, и нормаль, пересекающую ось абсцисс в точке S.