Студопедия


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Алгоритм построения общего решения однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами в соответствии с видом корней характеристического уравнения




1. Записать характеристическое уравнение (5.8).

2. Найти корни характеристического уравнения.

3. Пользуясь правилами 1-3, выписать общее решение уравнения в зависимости от типа корней.

Всякое решение линейного уравнения является частным решением и особых решений оно не имеет.

Пример 5.1. Найти общее решение уравнения: .

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение: .

2. Найдем корни этого уравнения: .

3. Поскольку корни действительные и различные, то по правилу 1 им ставятся в соответствие функции , которые составляют фундаментальную систему линейно независимых решений исходного уравнения. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.▲

Пример 5.2. Найти общее решение уравнения:

.

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение:

.

После преобразований это уравнение можно привести к виду:

2. Найдем корни этого уравнения: .

3. Мы видим, что среди корней характеристического уравнения есть как действительные и различные корни, так и комплексно сопряженные. Поэтому для составления фундаментальной системы линейно независимых решений воспользуемся правилами 1 и 2:

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

В пункте 3 нашего решения мы утверждали, что наша фундаментальная система состоит из линейно независимых решений. Проверим, соответствует ли это утверждение действительности.

Проведем доказательство того, что наши частные решения являются линейно независимыми в любом интервале изменения х, от противного, положим, что выполняется тождество:

.

Разделим это тождество на ех:

,

дифференцируем:

.

Делим на e-2x :

,

и еще раз дифференцируем:

.

Делим полученное тождество на :

.

Это тождество может выполняться только при условии:

Отсюда вытекает, что , а это противоречит нашему предположению, что . Следовательно, решения, составляющие фундаментальную систему, являются линейно независимыми. ▲

Пример 5.3. Найти общее решение уравнения:

.

▲ 1. Запишем характеристическое уравнение:

.

2. Это характеристическое уравнение имеет корни:

.

3. Мы видим, что среди корней характеристического уравнения есть как действительные и различные корни, так и комплексно сопряженные, причем комплексные корни являются кратными. Поэтому для составления фундаментальной системы линейно независимых решений воспользуемся правилами 1, 2 и 3. Корню соответствует решение , а каждому из двукратных корней и , отвечают решения: Совокупность этих пяти решений - образует фундаментальную систему линейно независимых решений. Следовательно, общее решение запишется так:




.▲





Дата добавления: 2014-02-12; просмотров: 567; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8699 - | 7453 - или читать все...

Читайте также:

 

35.172.100.232 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.002 сек.