Метод исключения из уравнения 2-го порядка слагаемого, содержащего первую производную искомой функции. Уравнение Чебышева

Рассмотрим уравнение второго порядка вида

.

Такое уравнение можно путем замены независимой переменной вида

можно привести к виду

,

а затем с помощью замены

,

в последнем уравнении можно избавится от первой производной. Такое преобразование называется преобразованием Лиувилля.

Уравнение вида

иногда можно свести к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены

.

Дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами с помощью определенной замены искомой функции можно привести к виду, не содержащему первой производной. Например, уравнение вида

,

которое называется уравнением Чебышева, приводится к однородному линейному уравнению, не содержащему первой производной путем замены аргумента х по формуле , а именно к уравнению вида:

,

общее решение которого имеет вид

.

Исходя из этого, общее решение уравнения Чебышева будет выглядеть так:

.

Пример 6.8. Решить уравнение: .

▲ Для начала, положим , и подберем функцию так, чтобы после замены в полученном уравнении отсутствовал член с первой производной. Тогда вычислив производные

,

и подставив их в исходное уравнение, получим

. (П6.8.1)

Для того, чтобы выполнялось поставленное условие, а именно, в этом уравнении отсутствовал член с первой производной необходимо, чтобы

,

откуда определим

.

Подставив эту функцию в уравнение (П6.8.1), получим уравнение:

.

Это однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: . Следовательно, общее решение будет иметь вид:

,

а так как в силу нашего предположения о том, что t = , то решение исходного уравнения будет иметь вид:

.▲