Лекция 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейным уравнением п -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение вида
, (6.1)
где все непрерывные на некотором отрезке [a,b] функции. Считая можно разделив уравнение (26) на и вводя новые обозначения
,
представить уравнение (26) в виде:
. (6.2)
Если при всех значениях х функция f(x) равна нулю, то уравнение (6.2) будет называться однородным линейным уравнением
, (6.3)
в противном случае – неоднородным линейным уравнением.
Левая часть уравнения (6.3) может обозначаться кратко через линейный дифференциальный оператор -. Тогда уравнение (6.3) можно записать в виде
(6.3* )
Поскольку коэффициенты уравнения (6.1) являются непрерывными на отрезке [a,b] функциями, то и коэффициенты уравнения (6.2) также будут непрерывными на отрезке [a,b] функциями. Тогда уравнения (6.1) и (6.2) будут иметь единственное решение у = у (х), определенное во всем интервале [a,b] и удовлетворяющее начальным условиям:
, (6.4)
причем начальные данные можно задавать совершенно произвольно, а х 0 нужно брать из интервала [a,b].
|
|
Вронскиан п решений однородного линейного уравнения п -го порядка связан с первым коэффициентом уравнения (6.3) формулой Остроградского – Лиувилля:
. (6.5)
Формула Остроградского-Лиувилля может быть использована для интегрирования линейного уравнения второго порядка вида
, (6.6)
если известно одно нетривиальное решение этого уравнения . Согласно формуле Остроградского-Лиувилля любое решение этого уравнения второго порядка должно быть также решением уравнения
Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка можно воспользоваться методом интегрирующего множителя. Умножая на , получи
или
. (6.7)
Пример 6.1. Найти общее решение уравнения: , если известно одно его частное решение .
▲ По формуле (6.7) находим
.▲