double arrow

Однородные линейные уравнения и методы их решений

Лекция 6. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Линейным уравнением п -го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение вида

, (6.1)

где все непрерывные на некотором отрезке [a,b] функции. Считая можно разделив уравнение (26) на и вводя новые обозначения

,

представить уравнение (26) в виде:

. (6.2)

Если при всех значениях х функция f(x) равна нулю, то уравнение (6.2) будет называться однородным линейным уравнением

, (6.3)

в противном случае – неоднородным линейным уравнением.

Левая часть уравнения (6.3) может обозначаться кратко через линейный дифференциальный оператор -. Тогда уравнение (6.3) можно записать в виде

(6.3* )

Поскольку коэффициенты уравнения (6.1) являются непрерывными на отрезке [a,b] функциями, то и коэффициенты уравнения (6.2) также будут непрерывными на отрезке [a,b] функциями. Тогда уравнения (6.1) и (6.2) будут иметь единственное решение у = у (х), определенное во всем интервале [a,b] и удовлетворяющее начальным условиям:

, (6.4)

причем начальные данные можно задавать совершенно произвольно, а х 0 нужно брать из интервала [a,b].

Вронскиан п решений однородного линейного уравнения п -го порядка связан с первым коэффициентом уравнения (6.3) формулой Остроградского – Лиувилля:

. (6.5)

Формула Остроградского-Лиувилля может быть использована для интегрирования линейного уравнения второго порядка вида

, (6.6)

если известно одно нетривиальное решение этого уравнения . Согласно формуле Остроградского-Лиувилля любое решение этого уравнения второго порядка должно быть также решением уравнения

Для интегрирования этого линейного уравнения первого порядка можно воспользоваться методом интегрирующего множителя. Умножая на , получи

или

. (6.7)

Пример 6.1. Найти общее решение уравнения: , если известно одно его частное решение .

▲ По формуле (6.7) находим

.▲


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: