Уравнения Эйлера. Линейные уравнения с переменными коэффициентами вида

Линейные уравнения с переменными коэффициентами вида

(6.8)

(6.9)

или

(6.10)

(6.11)

называются уравнением Эйлера. Здесь - постоянные коэффициенты.

С помощью подстановки

(6.12)

для уравнения (6.8), (6.9) и

(6.13)

для уравнения (6.10), (6.11) оба эти уравнения сводятся к уравнению с постоянными коэффициентами. Для этого необходимо вычислить производные, например, от (6.12) по новой переменной t:

, (6.14)

……………………………………………………………

.

Подставив значения(6.14) в уравнение (6.8), получим новое уравнение с постоянными коэффициентами

, (6.15)

которое называется преобразованным уравнением, по отношению к уравнению (6.8). Интегрируя это уравнение, находится решение и далее после возвращения к старой переменной в соответствии с формулой (6.12) - , найдем решение уравнения (6.8). Решения уравнений (6.9), (6.10), (6.11) находятся аналогичным способом.

Пример 6.2. Найти решение уравнения: .

▲ Полагая или , найдем .

Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:

.

Подставив в исходное уравнение, получим

.

Следовательно, мы получили однородное линейное уравнение. Его характеристическое уравнение имеет корни . Поскольку корни действительные и кратные, с кратностью равной двум, то общее решение будет иметь вид:

.

Перейдя к переменной х, окончательно получим общее решение исходного уравнения

.▲

Пример 6.3. Найти решение уравнения:

.

▲ Полагая или , найдем .

Вычислим производные по новой переменной t, обозначив точками дифференцирование по t:

.

Подставив в исходное уравнение, получим

. (П6.3.1)

Это неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами и общее решение соответствующего ему однородного уравнения имеет вид

,

Поскольку характеристическое уравнение имеет двукратный корень равный единице: .

Частное решение уравнения (П6.3.1)можно получить методом неопределенных коэффициентов.

Поскольку параметры правой части неоднородного уравнения (П6.3.1) равны, соответственно, a =0, b = 1, q = 0, l = 0 и число не совпадает ни с одним корнем характеристического уравнения, поэтому s =0, и m = max(q,l) = 0. Исходя из этого, можно выписать вид искомого частного решения:

Вычислим производные от

и подставив их в уравнение (П6.3.1), получим

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях в правой и левой частях этого уравнения

Следовательно, частное решение уравнения (П6.3.1) имеет вид

,

а общее решение уравнения (П6.3.1) будет выглядеть так:

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.▲

Частные решения однородного уравнения Эйлера (6.8), также можно получить, если использовать подстановку вида:

(6.16)

Вычислив производные

,

и подставив их в уравнение (6.8) и сокращая на , получим

(6.17)

Это уравнение п -ой степени относительно k имеет п корней: ; если все корни различны, то мы получаем п линейно независимых частных решений , следовательно, общее решение будет иметь вид:

. (6.18)

Пример 6.4. Найти решение уравнения:

.

▲ Ищем решение в виде , тогда уравнение (6.17) принимает вид:

,

откуда . Мы видим, что корни действительные и различные, поэтому общее решение при х > 0 имеет вид

.▲

Кроме того, уравнение (6.17) будет характеристическим уравнением для преобразованного уравнения (6.15)

,

так как . Следовательно, кратному корню кратности a уравнения (6.17) будут соответствовать частные решения преобразованного уравнения

а общее решение преобразованного уравнения будет иметь вид:

.

С учетом того, что , общее решение уравнения Эйлера принимает вид:

.

Пример 6.5. Найти решение уравнения: .

▲ Ищем решение в виде , тогда уравнение (6.17) принимает вид:

,

откуда Мы видим, что корни кратные с кратностью равной 2, поэтому общее решение при х > 0 имеет вид: .▲

Комплексным сопряженным корням кратности a уравнения (6.17) будут соответствовать частные решения

преобразованного уравнения или с учетом того, что частные решения

исходного уравнения Эйлера.

Пример 6.6. Найти решение уравнения: .

▲ Ищем решение в виде , тогда уравнение (6.17) принимает вид:

,

откуда , Мы видим, что корни комплексные, поэтому общее решение при х > 0 имеет вид

.▲

Пример 6.7. Найти решение уравнения:

.

▲ Это уравнение Эйлера вида (6.10), поэтому его решение ищем в виде , тогда уравнение (6.17) принимает вид:

,

откуда , Мы видим, что корни действительные и различные, причем среди них имеется двукратный корень-. Поэтому частными решениями будут

,

а общее решение имеет вид

.▲