Решение задачи Коши

Рассмотрим трехмерное квазилинейное однородное уравнение

(11.22)

Уравнение характеристик для него можно представить в виде

(11.23)

Эта система также называется системой дифференциальных уравнений векторных линий (т.е. линий касательная к которым в каждой точке имеет направление, совпадающее с направлением вектора

.

Поверхности, целиком содержащие векторные линии, имеющие хотя бы одну общую точку, называются векторными.

Если необходимо найти поверхность, проходящую через некую заданную линию, определяемую, например, уравнениями

(11.24)

то уравнение искомой поверхности определяется исключением x, y, z из системы

(11.25)

Которые должны одновременно удовлетворяться в точках заданной линии , через которую проводим характеристики, определяемые уравнениями

.

В результате чего получим уравнение

,

а искомым интегралом будет

.

Пример 11.3. Необходимо найти интегральную поверхность заданную уравнением

,

проходящую через кривую, заданную уравнениями

.

▲ Запишем уравнение характеристик

.

Первый интеграл очевиден

.

Второй интеграл найдем из следующей комбинации

,

интегрируя это уравнение, найдем

.

Составим систему (25)

Следовательно, т.к. , а , то уравнение искомой поверхности проходящей через заданную линию имеет вид

.▲