Гипотеза сплошности

Лекция 19. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

Задания для самостоятельной работы

Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга со следующими граничными условиями:

18.1. .

18.2. .

18.3. .

18.4. .

18.5. .

18.6.

Решить краевую задачу для уравнения Лапласа вне круга со следующими граничными условиями:

18.7. .

18.8. .

18.9. .

18.10. .

18.11. .

Введём понятие сплошной среды. Все тела состоят из отдель­ных частиц (атомов, молекул), но так как их много в любом очень малом, интересующем нас объёме, мы абстрагируемся от реального строения вещества и представляем среду с непре­рывно меняющимися свойствами, заполняющую пространство сплошным образом. Воду, воздух, металлы, конденсированные взрывчатые вещества (ВВ), продукты детонации и т.д. будем рассматривать как тела, непрерывно заполняющие некоторую часть пространства.

Такая идеализация, в частности, позволяет в дальнейшем при исследовании движения таких сред использовать аппарат непрерывных функций, дифференциальное и интегральное ис­числения.

Как правило, в горном деле рассматриваются два вида сплошных сред: идеальная среда и неидеальная среда.

Идеальная среда. Идеальной средой называют такую сре­ду, в которой отсутствуют внутренние силы взаимодействия между частицами, то есть отсутствуют силы внутреннего трения между частицами, отсутствуют касательные напряжения. Иде­альная среда не способна оказывать сопротивление изменению формы своих частиц.

Среди класса идеальных сред будем выделять так называе­мый "совершенный газ", свойства которого описываются уравне­нием Менделеева-Клапейрона - .

Неидеальная среда. В неидеальной среде присутствуют внутренние силы (внутреннее трение). Это вязкая жидкость — изотропная сжимаемая (или несжимаемая) среда, сдвиговые и объёмное сопротивления которой линейно зависят от скоростей деформаций.

Заметим, что твёрдые тела (металлы и другие) являются неидеальной средой. Они характеризуются наличием прочности и сжимаемости при относительно высоких напряжениях. Для твёрдых тел используют модели:

- упругой среды (сопротивление которой линейно зависит от деформаций);

- жёсткопластической среды (учитывается только пластич­ность);

- упругопластической среды, в которых учитываются упру­гие и пластические свойства, а также сжимаемость среды.

В сплошной среде различают поверхностные и массовые силы.

Поверхностные силы. Поверхностными силами, называются силы, распределенные по поверхности некоторого объёма сплош­ной среды.

Рис. 19.1

На рис. 19.1 показана система поверхностных сил, действу­ющих на поверхность выделенного объёма в идеальной сплошной среде, где р_х = р_у = р_z = р.

На рисунке 19.2 показаны поверхностные силы, действующие в неидеальной сплошной среде (вязкой среде или твёрдом теле).

Рис. 19.2

Массовые силы. Силы, действующие на единицу массы, на­зываются массовыми. Это, например, гравитационные силы, ко­торые подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона, элек­тромагнитные силы, силы инерции и др.