Решения краевых задач для уравнения Лапласа в круге

Уравнением Лапласа описываются различные физические процессы и в каждой задаче искомое решение должно удовлетворять уравнению в некоторой области D, а также некоторому дополнительному условию на границе S этой области D.

В зависимости от вида граничного условия различают следующие основные виды граничных задач:

1) найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям первого рода: - первая краевая задача или задача Дирихле;

2) найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям второго рода: - вторая краевая задача или задача Неймана;

3) найти решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее граничным условиям третьего рода: - третья краевая задача,

где - определенные на поверхности S функции; Р – точка поверхности S; - внешняя нормаль к S; .

Краевые задачи могут быть внутренними или внешними. Они различаются в зависимости от того, в какой области внутренней или внешней относительно поверхности S ищется решение.

Внутренняя задача Дирихле формулируется следующим образом: Найти непрерывную в замкнутой области функцию и (М), которая удовлетворяла бы в области D уравнению Лапласа и принимала бы на поверхности S заданные значения F(P). Математически это можно записать следующим образом:

Внутренняя задача Неймана формулируется так: найти внутри области D решение и (М) уравнения Лапласа

непрерывное в замкнутой области и удовлетворяющее на поверхности S условию

Рассмотрим теперь краевые задачи для уравнения Лапласа внутри круга и вне его. Пусть существует область, представляющая собой круг радиуса R. Запишем двухмерное уравнение Лапласа в полярных координатах, полагая, что , а

или . (18.12)

Для нахождения частных решений уравнения (18.12) используем метод Фурье и представим эти решения в виде

(18.13)

После подстановки решения (18,13), первой и второй производной от этой функции по r, а также второй производной от нее по φ в исходное уравнение (18.12), получим

Разделим в этом уравнении переменные

(18.14)

Это равенство выполняется тогда и только тогда, если обе его части равны одной и той же постоянной, например, λ

Тогда для каждой функции и получим два уравнения

, (18.15)

. (18.16)

Рассмотрим сначала уравнение (18.15) для функции . Ясно, что при изменении угла φ на величину 2π однозначная функция должна вернуться к исходному значению, т.е. . Отсюда . Значит, , т.е. функция является периодической функцией с периодом 2π. Уравнение (18.15) является линейным однородным уравнением второго порядка и поэтому его решение будем искать в виде

После подстановки которого в уравнение (18.15) получим характеристическое уравнение

Корни характеристического уравнения являются исключительно мнимыми, поэтому общее решение уравнения (18.15) при будет иметь вид,

. (18.17)

и в силу периодичности функции должно быть выполнено равенство , где n ≥ 0 – целое число.

В самом деле, из равенства

Введем обозначения

тогда можно записать

т.е.

, (18.18)

где n ≥ 0 – целое число.

Следовательно, частные решения уравнения (18.15) при различных значениях n можно записать в виде

(18.19)

Исходя из (18.18) следует, что уравнение (18.16) можно записать в виде

(18.20)

Уравнение (18.20) в случае, когда представляет собой уравнение Эйлера с переменными коэффициентами, которое можно привести к уравнению с постоянными коэффициентами используя замену переменной по правилу . Вычислим производные уравнения (18.20) в новых переменных

Следовательно, подставив эти производные в уравнение (18.19) получим обыкновенное линейное и однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

. (18.21)

Решение этого уравнения будем искать в виде

Вычислим от этой функции производные и подставим в уравнение (18.21)

следовательно общее решение уравнения (18.21) имеет вид

и возвращаясь к переменной r, получим

. (18.22)

Если в уравнении (18.20) , то это уравнение принимает вид

(18.23)

Это уравнение также является уравнением Эйлера, поэтому, производя замену , приходим к уравнению

решение которого будет иметь вид

и возвращаясь к переменной r, получим

. (18.24)

решение уравнения (18.20) при , а при любых значениях n частные решения уравнения (18.20) запишем в виде

. (18.25)

Подставляя (18.19) и (18.25) в решение (18.13) получим набор частных решений

используя принцип суперпозиции, а также вследствие линейности и однородности уравнения Лапласа можно утверждать, что сумма частных решений также будет его решением, следовательно, общее решение уравнения Лапласа будет иметь вид

(18.26)

Пользуясь этой формулой и задавая граничные условия первого, второго и третьего рода можно решать как внутренние, таки внешние граничные задачи – Дирихле, Неймана и смешанную задачу.

I. Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса R

Для решения этой задачи используем формулу (18.26), учитывая при этом, что функция должна быть ограничена, поэтом мы должны принять, что все коэффициенты , поскольку в противном случае функция имела бы разрыв в точке r = 0 и не была бы гармонической в круге. Исходя из этого, и полагая, что все коэффициенты , а также в формуле (18.26) выделяя члены при n = 0,

получим решение уравнения Лапласа

(18.27)

Удовлетворим в этом решении поставленным граничным условиям

Разложим функцию f (φ) в ряд Фурье на интервале от 0 до 2π

следовательно, можно записать

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства

найдем значения искомых коэффициентов A_n и B_n

Подставляя найденные коэффициенты в решение (18.27), получим окончательное решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

(18.28)

где c_n и d_n коэффициенты, заданные поставленными граничными условиями.

Решение задачи Дирихле также можно получить и используя формулу Пуассона

, (18.29)

которая при непрерывной функции дает классическое решение задачи Дирихле в круге.

II. Рассмотрим внешнюю задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге радиуса R

Для решения этой задачи используем формулу (18.26), учитывая при этом, что функция должна быть ограничена на бесконечности и неограниченна при r → 0, поэтом мы должны принять, что все коэффициенты . Исходя из этого, и полагая, что все коэффициенты , получим решение уравнения Лапласа

(18.30)

Удовлетворим в этом решении поставленным граничным условиям

, и разложим функцию f (φ) в ряд Фурье на интервале от 0 до 2π

Следовательно, можно записать

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства

найдем значения искомых коэффициентов A_n и B_n

Подставляя найденные коэффициенты в решение (18.30), получим окончательное решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге

, (18.31)

где c_n и d_n коэффициенты, заданные поставленными граничными условиями.

III. Рассмотрим внутреннюю задачу Неймана:

(18.32)

Для решения этой задачи вычислим производную от решения (18.27)

. (18.33)

И запишем граничные условия

и разложим функцию f (φ) в ряд Фурье на интервале от 0 до 2π

Следовательно, можно записать

Теперь, приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях полученного равенства, найдем значения искомых коэффициентов A_n и B_n

Подставляя найденные коэффициенты в решение (18.33), получим окончательное решение внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа в круге

, (18.31)

где С – произвольная постоянная.

Необходимо отметить, что решение задачи Неймана существует только при условии

(18.32)

и определяется с точностью до произвольной постоянной.

Смешанная граничная задача для уравнения Лапласа в круге радиуса R решается аналогично задачам рассмотренным выше.

Пример 18.1. Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части круга радиуса R, удовлетворяющее краевому условию

. (П18.1.1)

▲ Здесь задана задача Дирихле, где правая часть граничного условия (П18.1.1) . Решение ищется в круге , значит выписывать решение будем по (18.28). Найдем в этой формуле коэффициенты

Для этого подставим само решение (18.28) в левую часть граничного условия (П18.1.1) при , а правую часть, т.е. функцию разложим в ряд Фурье по синусам и косинусам

.(П18.1.2)

Теперь сравним коэффициенты при синусах и косинусах с одинаковыми аргументами и при свободном члене в левой и правой частях полученного равенства (П18.1.2)

(при ), т.к. справа нет слагаемых с ,

а также все остальные (кроме ). Подставим ненулевые в решение (18.28) и получим ответ, т.е. найдем функцию

▲

Пример 18.2. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга радиуса R , удовлетворяющее на границе условию Неймана

(П18.2.1)

▲ Здесь задана задача Неймана, где правая часть граничного условия (П18.2.1) (уже разложена в ряд Фурье), которую можно представить в виде двух функций