Первой моделью, которую мы рассмотрим, станет модель идеального сжимаемого газа. Эта модель используется для описания, например, распространение плоских, имеющая непосредственное отношение к процессам формирования и распространения воздушных ударных волн при ведении взрывных работ, а также к процессам детонации ПВВ, действию ударных волн в горных породах и т.д.
Идеальный совершенный газ характеризуется отсутствием в нем касательных напряжений, т.е. σij = 0, (i ≠ j).При этом напряжение в точке определяется только шаровым тензором, не зависящим от ориентации площадки, на которой рассматривается вектор напряжения . Так что напряжение в этом случае является скалярной величиной, которую обычно принято обозначать буквой р. Кроме того, в аэрогидродинамике принято сжимающее напряжение считать положительным, а растягивавшее — отрицательным, так что в рассматриваемом случае уравнение неразрывности (19.2) и соотношение (19.4) об изменении количества движения дают четыре скалярных уравнения
|
|
; (19.6)
или
для пяти неизвестных p, ρ,vx, vy, vz (второе векторное уравнение соответствует трем скалярным — по каждой оси координат). Уравнение же моментов количества движения превращается в тождество и новых соотношений для указанных величин не дает.
Распространение ударных и упругих волн в газах — быстропротекающие процессы, теплообмен их с окружавшей средой не успевает существенно изменить их термодинамическое состояние. Поэтому приближенно такие процессы рассматриваются как процессы без теплообмена, а распространение упругих ноли — как процесс без изменения энтропии частиц. С учетом этого обстоятельства и невозможности существования вечного теплового двигателя второго рода для совершенных газов установлено еще одно соотношение
(19.7)
где А — некоторая постоянная; ; ср —теплоемкость газа при постоянном давлении (); cV — теплоемкость газа при постоянном объеме.
При этом постоянная А через начальные значения р 0и ρ 0 выражается соотношением , так что выражение (19.7) записывается в виде
(19.8)
и носит название адиабаты Пуассона.
Величина γ для многих газов при атмосферных условиях изменяется в сравнительно небольших пределах от 1,3 до 1,5. Для воздуха γ = 1,41, для ПД γ = 1,35.
Система уравнений (19.6) и (19.8) позволяет полностью рассчитать любой процесс, при этом по формуле Клапейрона
(19.9)
может быть рассчитана и температура Т газа, где R = cp-cv — газовая постоянная, равная для воздуха 287,042 м2/с2·градус.
Скорость распространения упругих волн в газах определяется соотношением
(19.10)
что по адиабате Пуассона (19.8) дает выражение
|
|
(19.11)
Рассмотрим теперь распространение в воздухе плоской упругой волны малой амплитуды. Направим ось X вдоль направления движения волны. В этом случае все параметры волны будут функциями только двух переменных — координаты X и времени t. Вследствие этого для упрощения записи индекс x у всех величин опустим, имея в виду, что vx = v и т.д. Исходными для анализа этих волн являются уравнения (19.6) и (19.7). В рассматриваемом случае имеем
потому что есть произведение двух малых величин и и на порядок меньше ; а величины , потому что ρ не зависит от Y и Z.
Таким образом, уравнение неразрывности преобразуется к следующему виду
(19.12)
Аналогичным образом преобразуется уравнение движения:
(19.13)
Уравнения (19.12), (19.13) совместно с уравнением (19.8) составляют замкнутую систему уравнений для определения неизвестных ρ,v,p. Причем, если принять одну из них за независимую переменную (например, ρ), то две других (соответственно, v u p), будут однозначно выражаться через первую.
Выполним некоторые преобразования и установим вид уравнения, которому подчиняются ρ,v,p, описывающие распространение упругих плоских волн малой амплитуды, приняв ρ за основную независимую величину для трех из них. По правилу дифференцирования сложной функции с учетом (19.8) можно записать
(19.14)
Из уравнения (19.12) следует, что
.
Подставив полученную производную в уравнение (19.14), получим
. (19.15)
Уравнение (19.13) перепишем в виде:
(19.16)
Теперь продифференцируем первое уравнение в (19.15) по х,
, (19.17)
а уравнение (19.16) по t
. (19.18)
В уравнениях (19.17) и (19.18) равны левые части, следовательно, и правые части этих уравнений также равны
.
Таким образом, получаем уравнение
, (19.19)
которое является однородным гиперболическим уравнением в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами и описывает распространение волн малой амплитуды, поэтому его называют волновым. Уравнение (19.19) имеет общее решение:
(19.20)
где первый член описывает распространение волны в положительном направлении оси X, авторой член — в отрицательном направлении оси X. Проведя аналогичные преобразования, получим, что и давление р будет удовлетворять аналогичному волновому уравнению, а его решение будет описываться формулой
(19.21)
Установим связь между функциями v и р. Рассмотрим для определенности только f 1и φ 1 и обозначим .
По второму уравнению (19.16) находим
(19.22)
Интегрируя уравнение (19.22) по х, получим
(19.23)
Дифференцируем (1.5.23) по t
(19.24)
Из уравнения (19.15) следует, что
.
Дифференцируем (19.21) по x
(19.25)
Следовательно, поставляя (19.24) и (19.25) в (19.15) получим
устанавливаем, что произвольная функция от времени λ '(t) = 0, а
(19.26)
с точностью до постоянной.
Постоянная, входящая в (19.26), определяется некоторыми начальными условиями. Учитывая, что f 1 (x-at) = V соотношение (19.26) можно переписать в виде
(19.27)
где — избыточное давление, возникающее при прохождении плоской волны, имеющей амплитуду V-V 0 и начальные параметры движущегося газа р 0и V 0.
Из соотношений (19.20) и (19.21) следуют два очень важных вывода:
• плоские упругие волны малой амплитуды распространяются по сплошной среде с постоянной скоростью;
• форма плоских упругих волн малой амплитуды по мере их
распространения в сплошной среде не изменяется.