Основные свойства преобразования Лапласа

1. Однородность. Если ≒, то ≒(- любое комплексное число).

Действительно,

.

Следовательно, ≒.

2. Аддитивность. Если ≒и≒, то

≒.

Действительно,

.

Следовательно, ≒.

3. Подобие. Если ≒, то ≒ .

Действительно,

.

Следовательно, ≒ .

4. Дифференцирование оригинала. Если функция непрерывно дифференцируема на интервале является оригиналом и существует конечный предел -, а также, если есть то же оригинал, то из ≒следует:

≒ .

Действительно, интегрирование по частям дает при

.

Если Re больше показателей роста функции и ее производной , то оба интеграла стремятся к конечным пределам при , следовательно, с учетом того, что интеграл вида не может абсолютно сходиться, если функция при стремится к пределу, отличному от нуля, стремится к конечному пределу, но этот предел не может быть отличен от нуля. Следовательно, в пределе при получим

.

4.1. Обобщение. Если функция разнепрерывно дифференцируема на интервале является оригиналом и все ее производные до -го порядкавключительно – , ,…, , то же есть оригиналы, а также существуют конечные пределы -, , ,…,, то из ≒следует:

≒.

Для доказательства существования изображения производной -го порядка используется свойство 4 по индукции.

5. Дифференцирование изображения. Если ≒, то

≒.

Действительно,

Следовательно, ≒.

5.1. Обобщение. Если ≒, то ≒.

Для доказательства этого утверждения используется метод индукции по свойству 5.

6. Интегрирование оригинала. Если функция являющаяся оригиналом, непрерывна на интервале и имеет изображение , то

≒.

Действительно, если функция является оригиналом, которому соответствует изображение , т.е. ≒, тогда и по свойству 4 следует, что ≒, следовательно,

или =.

7. Интегрирование изображения. Если функция является оригиналом, а также является оригиналом , то из ≒следует:

≒ .

Действительно, если≒, тогда по свойству 5≒, следовательно, . Интегрируя полученное равенство в пределах от до , найдем:

,

следовательно, с учетом того, что Re следует, что , получим:

.

8. Запаздывание. Если ≒, то ≒ (– любое положительное число).

Действительно,

9. Умножение оригинала на показательную функцию (смещение изображения). Если ≒, то ≒(- любое комплексное число).

Действительно,