Аддитивная позиционная система счисления

Большее распространение получили аддитивные системы счисления.

Аддитивная позиционная система должна удовлетворять следующему равенству:

= a_nqⁿ + a_{n -1} q^{n -1} +... + a ₁ q ¹ + a ₀ q ⁰ + a _-1 q ^-1 +... + a _{- m} q ^{- m}

A_q – число, представленное в системе счисления с основанием q

a_i – цифры системы счисления

n – количество разрядов для целой части числа

m – количество разрядов для дробной части числа

Например, 1961,32₁₀ = 1х10³ + 9х10² + 6х10¹ + 1х10⁰ + 3х10^-1 + 2х10^-2

124,537₈ = 1х8² + 2х8¹ + 4х8⁰ + 5х8^-1 + 3х8^-2 + 7х8^-3

1001,1101₂ = 1х2³ + 0х2² + 0х2¹ + 1х2⁰ + 1х2^-1 + 1х2^-2 + 0х2^-3 + 1х2^-4

Согласно равенству, определяющему аддитивность системы, каждый разряд числа в двоичной системе счисления слева от запятой представляется двойкой в соответствующей положительной степени, а справа от запятой – двойкой в отрицательной степени:

Номер разряда разрядной сетки, отведенной для изображения целого числа в двоичной системе счисления, совпадает с соответствующим показателем степени двойки.

Для разных систем счисления характерна разная длина разрядной сетки, необходимая для записи одного и того же числа.

Например, можно представить числа в разных системах счисления таким образом:

10₁₀ = 1010₂ = 12₈ = A₁₆

16₁₀ = 10000₂ = 20₈ = 10₁₆

255₁₀ = 11111111₂ = 377₈ = FF₁₆

96₁₀ = 140₈ = 1100000₂

Таким образом, чем меньше основание системы счисления, тем больше длина числа.

В любых ЭВМ длина разрядной сетки фиксирована, что принципиально ограничивает точность и диапазон представления чисел.

Если n > 0 – длина разрядной сетки, то

(A_q)_max = qⁿ - 1

(A_q)_min = -(qⁿ - 1)

Например, если в двоичной системе счисления n =3, то (A₂)_max = 111₂ = 7₁₀,