2014-02-12
691
Таким образом, в основе математической статистики лежит сложное и противоречивое понятие выборки.
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем 
наблюдалось 
раз, 
раз и т.д., 
раз и 
– объем выборки.
Наблюдаемые значения 
называются вариантами; последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом.
Числа наблюдений 
обозначены 
и называются частотами, а величины 
– относительными частотами. Статистическим распределением выборки называется перечень вариант 
и соответствующих частот 
(или относительных частот 
):
| Х |
| 
| ... | 
|
| nx |
| 
| ... | 
|
| Wx | 
| 
| ... | 
|
В случае большого количества вариантов и непрерывного распределения признака статистическое распределение выборки задают в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на определенное число частичных интервалов (x 0, x 1), (x 1, x 2),...,(xk-1, xk) длиной D хi и находят для каждого интервала ni сумму частот вариантов, попавших в i-й интервал. Таким образом получают интервальное статистическое распределение выборки:
| Интервалы | (x 0, x 1) | (x 1, x 2) | ... | (xk-1, xk) |
| nx |
|
| ... |
|
| Wx |
|
| ... |
|
Статистическое распределение выборки называют также статистическим рядом.
Для графического изображения статистического ряда используют полигоны и гистограммы.
Для построения полигона на оси Ох откладывают значения вариант, на оси ординат – значения частот 
(или относительных частот 
). Построенную таким образом ломаную, отрезки которой соединяют точки (
или 
, называют полигоном частот или полигоном относительных частот соответственно.
В случае непрерывного распределения признака на основании интервального статистического распределения используют гистограмму, устанавливающую зависимость частот от разрядов интервалов, в которые попадают значения случайной величины. Предполагаем, что длины интервалов равны 
(h – шаг распределения). На оси Ox отметим точки 
с шагом 
друг от друга. На каждом частичном интервале строим прямоугольник высотой 
(плотность частоты). Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из вышеупомянутых прямоугольников. Поскольку площадь i-го частичного прямоугольника равна 
, то площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки n.
Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению 
(плотность относительной частоты). Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят прямоугольники высотой . Площадь i-го прямоугольника равна 
– относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т.е. единице. Поэтому гистограмма относительных частот является статистическим аналогом плотности распределения случайной величины X.
Задача В результате испытаний случайной величины X получен статистический ряд:
| I | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 |
| nx |
Построить гистограмму частот и гистограмму относительных частот статистического ряда.
Решение. На рис. показана гистограмма частот
Построим статистический ряд относительных частот
| I | 0-5 | 5-10 | 10-15 | 15-20 | 20-25 |
| 0,12 | 0,2 | 0,16 | 0,32 | 0,2 |
Пусть теперь изучается случайная величина X, закон распределения которой неизвестен. Требуется определить закон распределения на основании статистических данных.
Определение Статистической (эмпирической) функцией распределения (иначе функцией распределения выборки) называют функцию 
, определяющую для каждого значения х относительную частоту события 
:
,
где 
– число наблюдений, при которых значение признака X меньше x; n – объем выборки.
В отличие от эмпирической функции распределения выборки функция распределения 
генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями распределения состоит в том, что определяет вероятность события , а - относительную частоту этого же события. Поэтому можно использовать для приближенного представления теоретической функции распределения генеральной совокупности.
Функция обладает свойствами :
1) значения эмпирической функции распределения принадлежат отрезку [0,1];
2) является неубывающей функцией на промежутке 
;
3) если – наименьшая варианта, то = 0 при 
;
если – наибольшая варианта, то= 1 при 
.
Задача 2. Построить эмпирическую функцию распределения по статистическому распределению
| X | ||||
| W x | 0,4 | 0,1 | 0,3 | 0,2 |
Решение. Имеем
.
