В качестве оценки для дисперсии рассмотрим следующую величину:
.
Оценку (5.2.8) принято называть выборочной дисперсией. Проверим ее на состоятельность и несмещенность. Преобразуем выражение (5.2.8) к другому виду:
.
Первый член в выражении представляет собой среднее арифметическое n наблюдаемых значений случайной величины X2, значит он сходится по вероятности к MX2. Второй член сходится по вероятности к . Следовательно, правая часть сходится по вероятности к величине , что означает, что оценка состоятельная.
Теперь проверим, является ли выборочная дисперсия несмещенной оценкой:
.
Так как дисперсия не зависит от того, в какой точке выбрать начало координат, выберем его в точке; затем найдем математическое ожидание величины. Имеем .
В силу независимости случайных величин , , и, следовательно,
.
Очевидно, что выборочная дисперсия является смещенной оценкой. Однако, если умножить величину на , то мы получим для дисперсии оценку, обладающую свойством несмещенности, ибо
.
|
|
Эту оценку принято называть «исправленной» выборочной дисперсией и определять формулой
.
Величину называют «исправленным» средним квадратическим отклонением. Так как множитель стремится к 1 при , то оценка будет также, как и , состоятельной.
Если имеем интервальное выборочное распределение, нетрудно убедиться, что формулы для выборочной средней выборочной дисперсии и «исправленной» выборочной дисперсии можно переписать в виде
здесь – среднее значение случайной величины X на интервале , т.е. =(xi-1 + xi)/2.
Задача. Имеется статистический ряд для случайной величины X.
0-2 | 2-4 | 4-6 | 6-8 | 8-10 | |
nx |
Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию, «исправленную» выборочную дисперсию, «исправленное» среднее квадратическое отклонение.
Решение. Для удобства вычислений составим таблицу.
W i | |||||
0,12 | 0,12 | -4,08 | 16,65 | 1,988 | |
0,16 | 0,48 | -2,08 | 4,33 | 0,693 | |
0,40 | 2,00 | -0,08 | 0,01 | 0,04 | |
0,20 | 1,40 | 1,92 | 3,69 | 0,738 | |
0,12 | 1,08 | 3,92 | 15,37 | 1,844 | |
=5,08 |
Значения и получены из таблицы Имеем .