Уравнение неразрывности

Явление переноса.

Физико-механические основы переработки полимеров.

Прикладная наука о транспортных явлениях рассматривает перенос массы, количества движения и энергии. Она включает в себя те теоретические правила, с помощью которых решают задачи, связанные с течением жидкостей, теплопереносом и диффузией в различных средах.

Рассмотрим основные соотношения теории переноса:

· закон сохранения массы

· закон сохранения количества движения

· закон сохранения энергии

Используя математическую формулировку всех трех законов, получают определяющую систему дифференциальных уравнений в частных производных, которую замыкают условия однозначности, характеризующими конкретный процесс.

Простейшие из уравнений баланса – уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы.

Рассмотрим область пространства в декартовых координатах x, y, z, через которую со скоростью u(x,y,z,t) протекает однородная жидкость плотностью r(x, y, z, t)*1. Принцип сохранения массы в фиксированном объеме пространства DV=dxdydz может быть записан в виде: (скорость накопление массы в DV) =(скорости подвода массы в DV)+(скорости отвода массы из DV)

Плотность среды в точке определяется пределом отношения:

Разложим вектор скорости: `u<sub>x</sub> (x,y,z,t),`u_y (x,y,z,t),`u_z (x,y,z,t)

Рассмотрим – расход материала через единицу площади (количество материала, проходящего через единицу площади в единицу времени в направлении оси x),

Тогда – количество материала, проходящего в единицу времени в направлении оси x через площадку dydz в сечении x,

– количество выходящего материала.

Для остальных координат вводится аналогично.

Разность – то, что осталось внутри объема, тем самым увеличивая плотность:

Если плотность внутри объёма - r, то изменение плотности - , тогда скорость накопления массы (на сколько кг в секунду увеличится плотность, ) равна .

Это выражение равно алгебраической сумме потоков массы входящих и выходящих через шесть граней куба:

(1.1)

Каждая скобка в левой части уравнения (1.1) представляет собой чистый приток массы через три главные плоскости куба (диффузионных потоков через поверхность куба нет, поскольку жидкость однородная).

Разделим каждый член (1.1) на элементарный объем dxdydz, при условии, что размеры куба стремятся к нулю, в пределе получим:

*2 - для координаты x.

(1.2)

Преобразуем левую часть (1.2):

, получим:

(1.2’)

Уравнения (1.2) и (1.2’) называют уравнениями неразрывности.

Будем полагать, что плотность слабо зависит от координат и времени, т.е. не происходит накопления. r=const, получим, что производные по r=0:

- уравнение несжимаемости. (1.3)