2014-02-12
1890
В динамике сплошных сред принято выделять два класса действующих на частицы среды сил: объёмные (иногда их называют массовыми) и поверхностные силы. Под объёмными силами понимают такие, которые действуют на элементы объёма, например, силы веса, притяжения, инерции, силы действия магнитного и электрического поля. К поверхностным относят силы, которые при принятом в механике сплошных сред макроскопическом подходе действуют на элементы поверхности, как, например, силы давления, силы реакции и т.д.
В отличие от динамики сплошных систем дискретных точек (теор. меха), в динамике сплошных сред имеют дело не с самими силами, а с плотностью их распределения в пространстве. Так под объёмной силой F в данной точке M среды понимают предел отношения главного вектора 
сил, приложенных к точкам малого объёма DV, заключающего в себе точку M, к массе Dm=rDu, а объём стремится к 0, сохраняя внутри себя точку M, т.е.
или 
В качестве примера можно указать, что в случае сил веса F=mg, а Fm=g (массовая)
Аналогично поверхностные силы будут задаваться своей плотностью распределения, называемой напряжением.
|
|
|
,
где`P’ - главный вектор сил, приложенных со сторон среды к некоторой выделенной в среде малой площадки DS.
Отметим основное различие между двумя векторами`F и`P: в то время как вектор`F является однозначной векторной функцией точек пространства и времени, т.е. образует векторное поле, вектор`P принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в зависимости от ориентировки площадки, к которой приложено напряжение, и векторное поле не образует.
Таким образом, может показаться, что существует бесконечное количество независимых способов описания напряжённого состояния. Для полного и однозначного описания напряжённого состояния в точке (и в целом в среде) рассматривают тензор напряжений.
Рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр OABC с вершиной в данной точке O, основанием в виде треугольника ABC, образованного пересечением наклонной плоскости с тремя координатными плоскостями, и боковыми гранями, расположенными в координатных плоскостях.
Обозначим площадь DABC через SABC, а площадь треугольников OBC, OAB, OAC, представляющие проекции DABC на координатные плоскости, SOAC, SOAB, SOBC.
|  – уравновешенная поверхностная сила;
 – силы, действующие на соответствующие площадки;
n – вектор нормали к треугольнику ABC;
Пренебрегая действием массовых сил в среде (в рассматриваемом объёме) составляем выражение баланса сил:
|
(1.4)
Заметим, что
Подставив эти равенства в (1.4) и сократив на SABC, получим:
(1.5)
Спроецируем (1.5) на оси декартовых координат:
|
|
|
(*)
При принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении P обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка, второй индекс – ось, на которую спроектировано напряжение. Так`Pxz обозначает проекцию на ось z напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной к оси x.
Величины с одинаковыми индексами Pxx, Pyy, Pzz, представляют проекции векторовна нормали к соответствующим площадкам, называются нормальными напряжениями, а остальные – касательные напряжения.
Система равенств (*) показывает, что проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются линейно через проекции напряжений, приложенных к трём взаимно-перпендикулярным площадкам, лежащим в координатных плоскостях. Совокупность этих компонент, лежащих в трех взаимно-перпендикулярных плоскостях образуют тензор второго ранга, который и называется тензором напряжения.
Компоненты тензора напряжений в пространстве располагаются следующим образом:
| Таким образом, напряжённое состояние полностью определяется в точке M, если задать компоненты векторов напряжений на трёх взаимно-перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку M. Для полного описания напряжённого состояния необходимо знать девять компонент – по три для каждого вектора. Каждую компоненту можно описать двумя индексами i и j. Первый индекс указывает ориентацию площадки, второй направление действия силы. |
В задачах механики жидких и твёрдых сред используется закон парности касательных напряжений: 
, т.е. тензор напряжений является симметричным тензором. Таким образом, для полного описания напряжённого состояния в точке M необходимо знать только шесть независимых компонентов тензора напряжений.
