Тензор скоростей деформаций. Реологические уравнения

Тензор напряжений (или напряжённое состояние точки среды) зависит от скорости течения среды. Кинематическое соотношение, характеризующее движение жидкости, - это градиент скорости .

В общем случае течение, возможно, более чем одно ненулевое направление градиента скорости. Каждый из трёх компонентов скорости может изменяться в трёх координатных направлениях, что даёт девять возможных компонент градиента. Таким образом, можно ввести тензор градиентов скорости Ñu, который в декартовых координатах запишется:

Напряжённое состояние среды связано и определяется дифференциальными изменениями. Так, например, под воздействием одной и той же растягивающей силы различные материалы получают различные удлинения. Связь напряжений и деформаций для твёрдых тел осуществляется с помощью закона Гука:

где

E – модуль упругости, физический смысл – напряжение.

Напряжения, их величина, в вязкой, жидкой среде связаны со скоростями течения среды.

Причём чем сильнее изменяется величина скорости по сечению канала, тем больше усилие действует на среду, тем большее напряжение в среде возникает:

; величина называется градиентом скорости.

Движение жидкости представляет собой одновременное перемещение и вращение. Такие движения можно разделить, представить тензор градиентов деформацией в виде двух частей:

Где и - тензор скоростей деформации и вращательный тензор.

Тензор скоростей деформаций вводится следующим образом:

, где

тензор - транспонированный тензор, имеющий те же компоненты, что и Ñu, но с переставленными индексами (столбцы и строки переставлены).

Уравнениями состояния или реологическими уравнениями называют уравнения связывающие тензор напряжений и тензор скоростей деформаций, т.е.

В том случае, если связь между этими тензорами линейна, то говорят, что жидкость является ньютоновской.

Если ньютоновская жидкость помещена между двумя параллельными, бесконечными пластинами и одна из пластин движется с постоянной скоростью, то после достижения установившегося течения, сила на единице площади, приводящая в движение пластину, пропорциональна скорости движения пластины и обратно пропорциональна расстоянию между пластинами.

Выражение слева представляет собой напряжение, которое определяется как сила, действующая на единицу площади в плоскости с нормалью y и в направлении z, т.е. tyz. Далее так как профиль скорости линеен, то выражение справа представляет собой градиент скорости, т.е.

, где (2.1)

– коэффициент пропорциональности, вязкость*5 материала. Выражение (2.1) есть ньютоновский закон вязкости для несжимаемых жидкостей в простом сдвиговом течении.

В общем случае ньютоновский закон течения:

, или

(2.2)

Неньютоновскими жидкостями называются все те жидкости, которые на различных основаниях не следуют ньютоновскому закону. В последние три десятилетия было применено много усилий для описания (создания) реологических законов, достаточно хорошо описывающих сложное поведение неньютоновских жидкостей.

Неньютоновский характер материала в теории экструзии и течении полимерных материалов в длинных трубах проявляются в нелинейной взаимосвязи напряжением сдвига и скорости сдвига.

Характер неньютоновской жидкости может быть проиллюстрирован следующим экспериментом. Представим длинную горизонтальную трубу длиной L и радиусом R, в которой скорость течения определяется как функция градиента давления. Тогда расход жидкости через поперечное сечение определяется:

Для неньютоновских жидкостей связь Q и нелинейна.

Все среды подразделяются на:

- ньютоновские;

- неньютоновские или аномально-вязкие;

А также подразделяются на:

- Вязкие;

- Вязко-упругие.

Аномально-вязкие среды подразделяются на:

1) псевдопластические;

2) дилатантные

К псевдопластическим средам относятся суспензии, содержащие асимметричные частицы, растворы и расплавы полимеров.

К дилатантным средам относятся суспензии с большим содержанием твёрдой фазы.

Математическое выражение связи напряжений и скоростей деформаций для ньютоновских жидкостей различны, многообразны и получены эмпирическим путём.

В кабельной промышленности, где для наложения полимеров, которые ведут себя как псевдопластические жидкости, наиболее распространённым реологическим законом является степенной закон. В общем случае закон течения для нелинейных сред:

, где

m_э – эффективная вязкость, вся нелинейность – в ней.

– реологический степенной закон, где

m₀ – коэффициент консистенции или начальная вязкость;

I₂ – второй инвариант тензора скоростей деформаций;

n – показатель аномалии.

Инвариант тензора – величина, не зависящая от выбора координат.

– первый инвариант тензора деформации;

– второй инвариант тензора деформации.

В декартовой системе координат I₂ равен:

Кроме того, что вязкость может быть функцией скорости сдвига, для всех материалов характерна её температурная зависимость, всегда ниспадающая.

1, 2, 3 – материалы с разной молекулярной массой. Математически эта зависимость может быть представлена двумя различными выражениями: Уравнение Аррениуса: Уравнение Рейнольдса: , где

A, B – характеристики материала;

U (иногда пишут E) – энергия активации;

k – постоянная Больцмана;

T – температура;

b – температурный коэффициент.

С учётом зависимости имеем реологическое уравнение: