Принцип построения общих элементов пересекающихся геометрических фигур

Лекция 5

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте назначение способов преобразования комплексного чертежа?

2. В чем различие двух групп способов преобразования?

3. Какие основные задачи решают с помощью способов преобразования?

4. В чем сущность и основные особенности способа замены плоскостей проекций?

5. Сколько последовательных замен плоскостей проекций необходимо сделать при преобразовании плоскости общего положения в плоскость уровня и почему?

6. Сформулируйте сущность способов плоско параллельного перемещения и вращения и основное свойство соответствующей проекции геометрической фигуры?

7. В чем сходство и различие способов вращения и плоско параллельного перемещения?

Общие элементы (точка или линия) получаются в результате пересечения:

- линий;

- линии с поверхностью;

- поверхностей.

В первых двух случаях общим элементом пересекающихся фигур является точка, а в третьем линия, которая графически определяется дискретным рядом ее точек. Поэтому задачи на построение точки пересечения линии с поверхностью и линии пересечения поверхностей следует свести к рассмотренной ранее задаче о пересечении линий. При этом отмечалось, что необходимым условием пересечения линий является их принадлежность одной поверхности. На основании этого сформулируем принцип построения общих элементов пересекающихся геометрических фигур.

Сущность принципа состоит в ведении вспомогательных (дополнительных) поверхностей для получения в них пересекающихся линий. Такие вспомогательные поверхности в начертательной геометрии образно называют «посредниками», построенные линии в которых должны принадлежать пересекающимся геометрическим фигурам.

Алгоритм нахождения точки пересечения линии с поверхностью выглядит следующим образом (рис. 34, а):

1) через заданную линию проводим вспомогательную поверхность (посредник) – Φ É l;

2) строим линию пересечения посредника с заданной поверхностью – p = Φ ∩ Σ;

3) находим точку пересечения построенной линии с заданной – К = p ∩ l.

Рис. 34

Построенная точка К является результатом пересечения линий p и l, лежащих в одной вспомогательной поверхности Φ. Тем самым выполнено необходимое условие пересечения линий.

Алгоритм построения точки А¹, принадлежащей линии пересечения (l) поверхностей Γ и Λ выглядит следующим образом (рис. 34, б):

1) пересекаем поверхности Γ и Λ вспомогательной поверхностью (посредником) – Φ¹;

2) строим линии пересечения посредника с заданными поверхностями – p¹ = Φ¹ ∩ Γ, q ¹ = Φ¹ ∩ Λ;

3) определяем точку пересечения построенных линий – А¹ = p¹ ∩ q ¹.

Для нахождения точки А² линии пересечения алгоритм построения следует повторить еще раз с другим посредником (Φ²) и так далее для каждой последующей точки.

Вспомогательную поверхность, если это возможно, выбирают таким образом, чтобы в пересечении ее с заданными поверхностями получались простейшие линии (прямые, окружности), которые в свою очередь изображались бы на плоскости проекций в виде простейших. Поэтому выбор посредника зависит от:

- вида пересекающихся геометрических фигур;

- их взаимного расположения;

- положения геометрических фигур относительно плоскостей проекций.

Чаще всего в качестве посредника выступают плоскости, цилиндрические и сферические поверхности.