Задачи и упражнения

1. Даны множества: А ={ 2; 5; 8}; B ={ a; b; c }, C =(2; 5 ]. Найти: 1) A È B; 2) A È C; 3) A Ç B; 4) A Ç C; 5) A \ C; 6) C \ A; 7) A Å C; 8) A ´ B; 9) A ´ C (нарисовать); 10).

2. Найти 1), – объединение и пересечение по всем натуральным индексам n для множеств: (а) M_n ={ x Î ℝ: | x |£ n };
(б) M_n ={ x Î ℝ: x Î; (в) M _n = { x Î ℝ: x ¹ n }.

3. Найти – объединение и пересечение по всем вещественным индексам r для множеств:
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
; .

4. Докажите тождество двумя способами: а)используя диаграммы Эйлера–Венна; б) используя только определения операций над множествами. ;
;

,,;
,
;
;
;
;
.

5. Доказать, что ; .

6. Определить операции \ через: (а)Å, ; (б)Å, ; (в)Å, \.

7. Доказать, что нельзя определить: (а)\ через ; (б) .

8. Найти число различных собственных разбиений множества, состоящего из четырех элементов.
Собственным разбиением множества A называется такое его разбиение на непустые и попарно непересекающиеся подмножества , что , и при этом количество этих подмножеств более одного.

9. Найти число различных двухэлементных подмножеств множества, состоящего из четырех элементов. Сколько подмножеств из k элементов имеет множество, состоящее из n элементов ?

10. Решить систему уравнений:
;
;
;

11. Показать, чтосистема уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ; при этом условии решением системы является любое множество X такое, что .

12. При каких А, В и С системы имеют решение?

13. Выписать все элементы декартового произведения трех множеств: .

14. Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств: (а) [ a, b ]´[ c, d ], где [ a, b ] и [ c, d ] – отрезки вещественной оси; (б) [ a, b ]²; (в) [ a, b ]³; ; .

15. Сколько элементов в декартовом произведении пяти конечных множеств, состоящих из k ₁, k ₂, k ₃, k ₄ и k ₅ элементов?

16. Сколько различных последовательностей длины 5 можно составить из элементов множества {‑1, 0, 1}?

17. Каково должно быть разбиение конечного множества A на два непустых и непересекающихся подмножества A ₁ и A ₂, чтобы декартово произведение имело наибольшее число элементов?

18. Доказать, что

19. Доказать, что . При каких A, B, C и D получается равенство?

20. Даны две числовые функции: f (x)=3– x; g (x)= x ²–4. Найти: 1); 2); 3); 4); 5); 6). Для множеств A =[–0.5; 2] и B =[0; 5] найти f (A), g (A), f ^–1(B), g ^-1(B). Найти также неподвижные точки отображений f и g.

21. Отображение множества натуральных чисел в себя задано следующим законом: , где n – любое натуральное число. Найти образ f (ℕ) множества всех натуральных чисел.

22. Найдите область определения, область значений бинарного отношения Р. Определите, является ли отношение Р рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным. (а) P ={(x, y): x ²= y, где x и y – натуральные числа}; (б) P ={(x, y): x ²+ y ²=1, где x и y – целые числа }

23. Даны два множества: А ={ a, b, c } и B ={ 1,2,3,4 } и два бинарных отношения: Р ₁Í А ´ В и Р₂ Í В ², где Р ₁={ (a,1); (a,2); (b,3); (b,4); (c,3); (c,4) } и P ₂={ (1,1); (1,4); (2,1); (2,2); (2,4); (3,3) }. Найдите: Р ₁^-1, Р ₂^-1, (Р ₂° Р ₁), (Р ₂° Р ₁)^‑1, (Р ₁^-1° Р ₂^-1). Определите, является ли отношение Р ₂ рефлексивным, транзитивным, симметричным, антисимметричным.

24. Выясните, какими свойствами обладает действие:
(а) умножение на множестве натуральных чисел;
(б) вычитание на множестве натуральных чисел;
(в) сложение на множестве натуральных чисел.

25. Определите, какими свойствами обладают действия обычного сложения и умножения, заданные на множестве М, образует ли множество М группу относительно какого-нибудь из этих действий, если множество М (а) { –1, 0, 1}; (б) { –1, 1}.

26. Определите, образует ли множество М ={ 0, 1 } группу относительно следующего действия: , где x и y Î M.

27. Составьте таблицу Кэли для сложения и умножения классов вычетов по модулю 5. Классифицируйте данную алгебраическую систему. Найдите порождающий элемент мультипликативной группы этой системы.

28. Введя необходимые обозначения, запишите матрицу смежности и матрицу инциденций для графа, изображенного на рис.41.

29. Найдите число ребер в абсолютном дополнении графа на рис.41. Нарисуйте это дополнение.

30. Определите степень каждой вершины в графе на рис.41 и число маршрутов длины 3 между любой парой вершин.

31. Определите циклический и коциклический ранг графа на рис.41, нарисуйте один из его остовов, изобразите соответствующее этому остову ко-дерево, а также систему фундаментальных циклов и систему фундаментальных разрезов относительно выбранного остова.

32. Определите, является ли граф на рис.41 эйлеровым или полуэйлеровым. И, если это так, то найдите в графе эйлерову или полуэйлерову цепь соответственно. Определите также, является ли этот граф гамильтоновым, и укажите гамильтонов путь, если это так.