Определение 5

Определение 4.

События А и В называются независимыми, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или не произошло.

Пример 5.

Опыт – два раза подбрасывается монета.

Событие А - появление герба при первом бросании монеты.

Событие В - появление герба при втором бросании монеты.

События независимы.

Пример 6.

Опыт – выбор шара из урны с двумя белыми и одним черным шарами.

Событие А - появление белого шара при первом вынимании.

Событие В - появление белого шара при втором вынимании.

События зависимые.

Для зависимых событий А и B вероятность события B, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью и обозначается Р (с) или Р_А (В).

Для примера 6.

Р (А)=, Р (B/А) =.

Теорема 2. Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий А и В равна вероятности события А, умноженной на условную вероятность события В при условии, что событие А произошло, или равна вероятности события В, умноженной на условную вероятность события А при условии, что событие В произошло

Р (А ∙ В) = Р (А) ∙ Р (B/А) = Р (В) ∙ Р (А/ B). (2.3)

Доказательство. Пусть исходы опыта образуют полную группу n несовместных равновозможных событий (рис.2.1). При этом

· m из них благоприятны событию А;

· k из них благоприятны событию В;

· l из них благоприятны произведению событий А · В.

Тогда согласно классической формуле определения вероятности:

Преобразуем равенство:

Таким образом, теорема доказана.

Следствие теоремы 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей

Р (А·В) = Р (А) ·Р (В).

(2.4)

Следствие довольно просто объясняется, если принять во внимание, что для независимых событий условные вероятности совпадают с безусловными:

Р (А/B)= P (A); Р (B/А) = P (В).

Следствие легко обобщается на случай нескольких событий.

Пример 7.

Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень в каждом выстреле одинакова и равна 0,9. Найти вероятность того, что в мишени будет только две пробоины.

Решение.

Опыт – три выстрела по мишени.

Событие A – после трех выстрелов в мишени будет только две пробоины.

Введем обозначения:

A ₁ – попадание при первом выстреле, Р (A ₁)=0,9;

₁– промах при первом выстреле; Р (₁) = 1– Р (A ₁)=1– 0,9=0,01;

A ₂ – попадание при втором выстреле, Р (A ₂)=0,9;

₂ – промах при втором выстреле; Р (₂) = 1 – Р (A ₂)=1– 0,9=0,01;

A ₃ – попадание при третьем выстреле, Р (A ₃)=0,9;

₃ – промах при третьем выстреле, Р (₃) = 1 – Р (A ₃)=1– 0,9=0,01.

Тогда событие A можно разложить на простые следующим образом:

А = A ₁ A ₂₃ + A ₁₂ A ₃ + ₁ A ₂ A ₃.

Поскольку слагаемые в приведенном разложении соответствуют несовместным событиям, то вероятность события A будет равна сумме вероятностей этих событий (следствие теоремы 2.1):

Р (А) = Р (A ₁ A ₂₃ + A ₁₂ A ₃ + ₁ A ₂ A ₃)= Р (A ₁ A ₂₃) + Р (A ₁₂ A ₃) + Р (₁ A ₂ A ₃).

А поскольку все выстрелы являются независимыми между собой, то каждое слагаемое в последнем выражении можно представить как произведение вероятностей простых событий (следствие теоремы 2.2)

Р (А) = Р (A ₁) Р (A ₂) Р (₃) + Р (A ₁) Р (₂) Р (А ₃) + Р (₁) Р (A ₂) Р (А ₃)=