Формула полной вероятности

Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Лекция № 3

Часто для изучения опыта, с которым связано событие А, полезно ввести в рассмотрение события Н_i (i = 1, 2, …, n) гипотезы, для которых из тех или иных соображений известны априорные (доопытные) вероятности Р (Н_i) и условные вероятности Р (А / Н_i) наступления события А при условии, что произошло то или иное событие Н_i.

Теорема 3.

Если некоторое событие А может произойти только с одним из полной группы несовместных событий (гипотез) Н_i (i = 1,2,…, n) и известна априорная вероятность Р (Н_i) (i = 1,2,…,n) каждой гипотезы и условные вероятности Р(А/Нi) события А при условии, что осуществилась та или иная гипотеза, то полная, или средняя, вероятность события А определяется по формуле

(3.1)

Доказательство. Поскольку события Н_i попарно несовместны, а событие А может произойти либо совместно с событием Н ₁, либо с Н ₂,..., либо с Н_n, то сложное событие А можно представить в виде суммы попарно несовместных событий:

А = Н ₁ А + Н ₂ А +... + Н_nА.

Отсюда вероятность события А определяется в соответствии со следствием теоремы 1, то есть

P (А)= P (Н ₁ А + Н ₂ А +... + Н_nА) = P (Н ₁ А) + P (Н ₂ А) +... + P (Н_nА).

Применяя к каждому слагаемому последнего выражения теорему 2, получим

P (А) = P (Н ₁) Р (А / Н ₁) + Р (Н ₂) Р (А / Н ₂) +... + Р (Н_n) Р (А / Н_n) =

что и требовалось доказать.