Формула Байеса

Задача 3.1.

Завод выпускает приборы с гарантийным сроком эксплуатации один год. Известно, что 20% продукции будет эксплуатироваться в Заполярье, 75% – в местности с умеренным климатом, 5% – в пустыне. Известны также вероятности безотказной работы приборов в каждом регионе в течение гарантийного срока: 0,9 – в Заполярье; 0,99 – в местности с умеренным климатом; 0,8 – в пустыне.

Необходимо определить какой процент изделий следует выпустить дополнительно к плану для замены отказавших в течение гарантийного срока. При этом считается, что при замене изделий последние не отказывают.

Решение.

Дополнительно к плану следует выпустить столько изделий, сколько их откажет во всех регионах. Искомый дополнительный процент изделий – это полная вероятность отказа приборов по всем регионам, умноженная на 100%.

Введем обозначения:

А – безотказная работа прибора;

Н ₁ –прибор будет эксплуатироваться в Заполярье;

Н ₂ – прибор будет эксплуатироваться в местности с умеренным климатом;

Н ₃ – прибор будет эксплуатироваться в пустыне.

Тогда вероятности осуществления гипотез, исходя из условия примера, составят:

P (Н ₁) = ;

P (Н ₂) = ;

P (Н ₃) = .

Условные вероятности события А равны:

Р (А/Н ₁) = 0,9; Р (А/Н ₂) = 0,99; Р (А/Н ₃) = 0,8.

Определим полную вероятность безотказной работы прибора:

= 0,2∙0,9 + 0,75∙0,99 + 0,05∙0,8 = 0,9625.

Полная вероятность отказа приборов по всем регионам определится как

Р () = 1 – Р(А) = 1 – 0,9625 = 0,0375.

Искомая величина: Р () ∙ 100% = 3,75%.

Формула Байеса используется в тех же условиях, что и формула полной вероятности. Единственное отличие состоит в том, что событие А уже произошло.

Формула Байеса позволяет определять апостериорные (послеопытные) вероятности гипотез Р (Н_i / А), i= 1, 2, …, n, т.е. условные вероятности гипотез при условии, что событие А произошло.