Линейные дифференциальные уравнения I порядка.
Определение. Линейное д. у. называется линейным однородным, если f (x) º 0, и линейным неоднородным, если $ x f (x) ¹ 0.
Замечание. Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными (но в общем случае не является однородным д.у.):
1. Метод Бернулли. Решение можно свести к решению двух уравнений с разделяющимися переменными заменой неизвестной функции на произведение двух неизвестных функций
y (x) = u (x)× v (x),
одна из которых подбирается с целью упростить уравнение.
Подставим в
.
Подберем функцию v (x) так, чтобы ,
u вынесем за скобки. Учитывая, что u (x) не может тождественно равняться нулю (иначе y (x) º 0, а такого решения нет), получим
Для первого достаточно одного решения v (x), так как цель – упростить; для второго нужны все решения:
u (x, С).
y = u (x, С)× v (x).
Пример. , y (1) = 1.
Решение. y (x) = u (x)× v (x).
Запишем систему:
Первое уравнение:
Второе уравнение:
Общее решение исходного д.у.:
Решение задачиКоши:
Замечание. Переписав уравнение в виде
заметим, что задачу Коши y (x 0) = y 0 можно ставить в любой точке x 0¹0 с любым значением y 0.
2. Методвариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).