double arrow

Общее и частное решения, общий и частный интегралы уравнения. Особые решения


Замечание 1.Решение y(x) может оказаться найденным неявно: или x = x(y)

(недифференциальное уравнение с теми же решениями).

Во всех этих случаях будем считать задачу решенной.

Если решение содержит «невзятые» интегралы, будем говорить, что уравнение «решено в квадратурах».

Замечание 2.Далеко не все д. у. 1-го порядка решаются, даже в квадратурах.

Определение. 1.Если в области D пл. (x, y) через каждую ее точку проходит единственная интегральная кривая y = y(x), то каждое из таких решений y(x) называется частным решением уравнения в области D. Графики частных решений не пересекаются.

2. Если получена формула

y = φ(x, C) (*)

такая, что

а) "С из некоторого E Í R функция y = φ(x, C) есть частное решение в D,

б) наоборот, каждое частное решение в D может быть получено по этой формуле выбором единственного надлежащего С, то формула (*) называется общим решением д. у. в D.

Определение.Частные решения называют также частными интегралами, а общее решение – общим интегралом д. у. Но чаще термины частный интеграл и общий интеграл применяются в случаях, когда частное и общее решения определяются неявно:

и ,




с теми же решениями, что и исходное д. у.

Замечание 3. По границе области D, для которой получено общее решение, также может проходить интегральная кривая, причем как со свойством единственности в каждой точке (такое решение будем также называть частным), так и с нарушением единственности в каждой точке (такое решение будем называть особым).

Примеры. 1. y ¹ 0.

Д. у. задает поля направлений в двух полуплоскостях:

y > 0 и y < 0.

В левой части – полный дифференциал функции

Þ

Интегральные кривые д. у. в верхней полуплоскости: верхние полуокружности, в нижней: нижние полуокружности.

общий интеграл уравнения в каждой полуплоскости,

и общие решения.


2.y ³ 0.

y= 0 – решение, его график проходит по границе области. Найдем другие решения.

y(x) Þ

Интегрируя обе части уравнения: правую часть по x, а левую по y (в силу инвариантности интегральных формул), получим две первообразные функции, отличающиеся на константу:

Это общее решение в полуплоскости y > 0.

Решение y = 0 – особое. В полуплоскости y ³ 0 есть решения, не являющиеся ни частными, ни особыми.

18.1.5. Теорема о существовании и единственности решения д. у..

Теорема. Если в области D плоскости (x, y) функции

непрерывны, то через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая уравнения

Другими словами, при выполнении условий теоремы для любой точки (x0, y0D существует единственное решение y(x) на некотором интервале оси Ox, содержащем точку x0, такое, что y(x0) = y0.







Сейчас читают про: