double arrow

Однородные дифференциальные уравнения

Д. у. с разделяющимися переменными.

Некоторые типы д. у. I порядка и методы их решения.

Задача Коши для д. у. I порядка.

Определение. Задачей Коши для д. у. I порядка в области D называют задачу нахождения решения y (x), удовлетворяющего начальному условию y (x 0) = y 0.

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через т. M 0(x 0, y 0D.

Теорема дает условия $-я и единственности решения задачи Коши

или

Метод решения. Разделение переменных:

При непрерывных функциях f (x) и g (y) это равенство дифференциалов (тождественное равенство при подстановке решения y = y (x)).

Þ находим первообразные, интегрируя левую часть по x, а правую – по y (инвариантность интегральных формул):

Это общий интеграл д. у., так как это уравнение имеет то же множество решений, что и исходное д.у.

Если решается задачи Коши:

подставить в общий интеграл x 0, y 0, найти С 0 и

записать частный интеграл

Пример.

Преобразуем:

Д. у. можно решать в полуплоскостях x > 0 и x < 0.

Задача Коши поставлена в полуплоскости x > 0.

Могли потерять решение y = 0 (делили).

Подставим это выражение в уравнение: убеждаемся, что оно удовлетворяет уравнению, откуда следует, что оно– решение.

Þ Искомое решение y (x) > 0 (в силу единственности интегральные кривые не пересекаются).

x = 3, y = e Þ

если f (l x, l y)= f (x, y) (1)

или

если $ m Î R:

, .

Уравнение однородное, если оно не меняется при подстановке l x вместо x и l y вместо y (в производные и дифференциалы не подставляем!)

Пример.

Сокращая на l2, получим исходное уравнение.

Метод решения. Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой неизвестной функции

y (x) = x × u (x). (*)

Покажем это.

1)

Þ

2)

Переменные разделены.

Замечание. В процессе преобразования уравнений нужно следить, не потерялись ли решения и не появились ли лишние.

Пример. .

Решение. .

Можно выразить y ¢, но можно и сразу сделать замену неизвестной функции:

(уравнение с разделяющимися переменными).

Вернемся к первоначальным переменным:

Получен общий интеграл д. у.

Мы делили на u. Проверим, не потеряно ли решение

y = 0, соответствующее значению: u = 0. Подстановка константы y = 0 превращает исходное уравнение

в тождество: 0+0=0. Это решение, которое нельзя получить из общего решения.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: