2014-02-12
546
Средняя квадратическая величина
По способу моментов
Расчет средней арифметической взвешенной
Вышеприведенные свойства средней арифметической позволяют упростить расчеты. Для вычисления средней сначала уменьшают (увеличивают) варианты на одно и то же число, затем полученные величины уменьшают (увеличивают) в одно и то же число раз и вычисляют среднюю из них, а на полученный конечный результат наносят поправки, но в обратном порядке. Этот способ вычисления средней называется способом моментов или способом отсчета от условного нуля. Тогда формула средней арифметической будет иметь следующий вид:
Задача 4. По следующим данным о распределении 100 рабочих предприятия по величине выработки нужно определить среднюю выработку, приходящуюся на одного рабочего:
| Группы рабочих по величине выработки, руб. | Число рабочих, в % к итогу | |||||||||||||
| 140-160 | ||||||||||||||
| 160-180 | ||||||||||||||
| 180-200 | ||||||||||||||
| 200-220 | ||||||||||||||
| 220-240 | ||||||||||||||
| ИТОГО: | ||||||||||||||
Решение:
5.2.3. Средняя гармоническая
Это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака.
5.2.3.1. Средняя гармоническая взвешенная
Применяется тогда, когда статистическая информация не содержит частот по отдельным вариантам совокупности, а представлена как их произведение.
Задача 5. Определите среднюю рентабельность по двум фирмам по следующим данным:
Решение:
Вывод: если известны значения числителя, но не известны значения знаменателя в ИСС, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной. 5.2.3.2. Средняя гармоническая простая. Задача 6. Две автомашины прошли один и тот же путь: одна со скоростью 70 км/ч, вторая - 90 км/ч. Тогда средняя скорость составит: Она применяется тогда, когда вместо индивидуальных значений признака представлены квадраты исходных величин. Задача 7. Имеются два квадратных участка земельной площади, со сторонами квадрата: x1=200, x2=400. Определите среднюю сторону квадрата. Решение: Задача 8. Максимальный размер выигрыша в лотерее составил 1 млн.руб., минимальный - 100 руб. Какую величину можно считать средней между 1 млн.руб. и 100 руб.? Решение: 5.2.6. Средняя степенная В математической статистике различные средние выводятся из формулы степенной средней: При z = 1 - средняя арифметическая; z = 0 - средняя геометрическая;
z = -1 - средняя гармоническая; z = -2 - средняя квадратическая. Чем выше z, тем больше значения средней величины, т.е. существует следующее соотношение, которое называется правилом мажорантности средних: | ||||||||||||||
ТЕМА 6. ПОКАЗАТЕЛИ ВАРИАЦИИ.
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЗАКОНОМЕРНОСТИ РЯДОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
6.1. Понятие вариации.
6.2. Показатели вариации.
6.3. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.
6.4. Моменты распределения
6.5.Изучение ряда распределения.
6.6.Структурные характеристики вариационного ряда распределения.
6.1. Понятие вариации.
Понятие вариации
Она возникает в результате влияния различных факторов (условий) на индивидуальные значения признака.
Термин «вариация»
Вариация присуща всем явлениям, «процессам и общества, и природы, кроме законодательно установленных нормативных значений отдельных социальных признаков» (например: не варьирует признак «число директоров школ» – все они имеют по одному директору). Неварьирующие признаки не представляют интереса для статистики; предметом изучения статистики является вариация.
Вариация признака может быть случайной и систематической.
Анализ систем вариации позволяет оценить степень зависимости различий значений признака от влияющих на них факторов, т.е., например, можно оценить являются ли однородной совокупность, т.е. характерна ли для нее исчисленная средняя.
6.2. Показатели вариации.
Степень близости индивидуальных значений от средней измеряется абсолютными, средними и относительными величинами:
1) Размах вариации
Он характеризует лишь наибольшие различия значений признака, но не измеряет вариацию во всей совокупности.
2) Среднее линейное отклонение
Среднее линейное отклонение редко применяется. Чаще всего рассчитывается дисперсия. Она применяется не только для оценки вариации признака как таковой, но и для измерения связи между явлениями, для оценки точности (величины ошибки) выборочного наблюдения и других целей.
3) Дисперсия – это средний квадрат отклонений вариантов признака от их средней величины.
На дисперсии основаны практически все методы математической статистики. Большое практическое применение получило правило сложения дисперсий.
4) Среднее квадратическое отклонение
Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает собой всю изучаемую совокупность. Средне квадратическое.отклонение имеет ту же размерность, то и изучаемый признак.
5) Среднее квартильное расстояние
Сила вариации в центральной части совокупности почти всегда меньше, чем в целом по всей совокупности. Соотношение между  служит для изучения вариации, говорит о том, как варьируют значения в центральной части по сравнению с периферией.
Задача 1. Выработка пяти рабочих характеризуется следующими данными:
№1 №2 №3 №4 №5
10 шт. 20 шт. 17 шт. 15 шт. 12 шт.
Определите показатели вариации
Решение:
Свойства дисперсии
1) Если из всех индивидуальных значений признака (вариант) вычесть постоянное число С, то средний квадрат отклонений от этого не изменится:
2) Если все индивидуальные значения разделить на постоянное число А, то средний квадрат уменьшается от этого в А2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в А раз:
3) Если вычислить средний квадрат отклонений от постоянной величины А, отличающейся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений, вычисленного от средней арифметической.
При этом больше на вполне определенную величину – на квадрат разности между средней и этой условно взятой величиной.
Дисперсия от средней имеется свойство минимальности, т.е. квадрат отклонений от средней т.е. она всегда меньше дисперсии, исчисленных от любых других величин.
Способ, основанный на свойствах дисперсии, называется способом моментов или способ отсчета от условного нуля.
Задача 2. По данным распределения 100 рабочих цеха предприятия по величине выработки определите дисперсию, используя способ моментов:
| ||||||||||||||||
| Группы рабочих по величине выработки, руб. | Число рабочих, чел. | |||||||||||||||
| 140-160 | ||||||||||||||||
| 160-180 | ||||||||||||||||
| 180-200 | ||||||||||||||||
| 200-220 | ||||||||||||||||
| 220-240 | ||||||||||||||||
| Итого: | ||||||||||||||||
Относительные показатели вариации
Все вышеуказанные показатели являются абсолютными, выраженными в формуле абсолютных статистических величин. Но они не пригодятся для сравнения вариации нескольких совокупностей. Относительные показатели вариации рассчитываются как отношения абсолютных показателей рассеивания к средней арифметической, умноженные на 100 %:
1) коэффициент осцилляции – относительный размах вариации, отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней:
2) 2)коэффициент, характеризующий относительное линейное отклонение, т.е. долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины:
3) коэффициент вариации – как наиболее распространенный показатель колеблемости всех вариантов совокупности, используется для оценки типичности средних величин. Чем больше коэффициент вариации, тем менее однородна совокупность, тем менее типична средняя, тем менее она характеризует изучаемое явление.
4) Относительное квартильное расстояние.
6.3. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.
Рассматривая  в пределах исследуемой совокупности, мы не можем определить влияние отдельных факторов, характеризующих колеблемость вариантов. Для этого применяется метод группировок, позволяющий изучить исследуемую совокупность по группам, однородным по одному признаку.
Различаются три показателя колеблемости признака в совокупности; общую( ), межгрупповую дисперсию , среднюю из внутригрупповых дисперсий :
1. Общая дисперсия, вычисляемая для совокупности в целом и характеризующая вариацию признака, вызванную действием на него всех без исключений факторов, т.е. зависящей от всех условий в данной совокупности.
2. Если совокупность разбита на группы, то для каждой группы должна быть определена дисперсия, характеризующая вариацию внутри групп, т.е. групповая дисперсия.
Групповая дисперсия характеризует вариацию признака в пределах групп за счет всех прочих факторов, кроме положенного в основание группировки.
3. Чтобы измерить такую вариацию для совокупности в целом, нужно найти среднюю из групповых дисперсий:
 характеризует случайную дисперсию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, неучитываемых факторов и не зависит от признака фактора, положенного в основание группировки.
4. Групповые средние ( ) обычно отличаются одно от другой и от общей средней, т.е. варьируют. Их вариацию называют межгрупповой вариацией. Для ее характеристики исчисляют средний квадрат отклонений групповых средних от общей средней. Это межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних):
Она измеряет вариацию результативного признака за счет факторного признака, положенного в основании группировки.
Итак, если учесть то, что средняя из групповых дисперсий измеряет колеблемость признака за счет всех прочих факторов, кроме положенного в основание группировки, а межгрупповая дисперсия - за счет именного этого фактора, то в сумме эти дисперсии должны дать общую дисперсию.
Коэффициент детерминации.
Эмпирическое корреляционное отношение.
Задача.Имеются следующие данные о вкладах населения района:
| ||||||||||||||||
| Группы населения | Число вкладов, тыс.ед. | Средний размер вклада, тыс.руб. | Коэффициент вариации вклада, % | |||||||||||||
| Городское | ||||||||||||||||
| Сельское | ||||||||||||||||
Определите тесноту связи между средним размером вклада и типом населения, исчислив эмпирическое корреляционное отношение.
|
|
|
|
|
|
Решение:
Дисперсия альтернативного (качественного) признака .
Альтернативный признак – это признак, характеризующий обладание или не обладание чем-то (см.п.1.2.).
В статистике, при изучении вариации альтернативных признаков, наличия изучаемого признака обозначаются «1», а его отсутствие – «0», доля единиц совокупности, обладающих изучаемым признаком – «p”, а не обладающих им “q”,  .
Задача.Из 1000 изделий 400 – бракованных изделий, 600- качественных. Определите дисперсию.
Решение:
6.4. Моменты распределения.
Для изучения вариации используются центральные моменты распределения - средние значения любых степеней отклонений отдельных величин признаки от его средней арифметической величины (см.табл.).
|
Центральные моменты
| Порядок момента | Формула | ||||
| По несгруппированным данным | По сгруппированным данным | ||||
| Первый М1 | |||||
| М2 | |||||
| М3 | |||||
| М4 | |||||
6.5. Изучение формы распределения
Закономерности распределения
Основная задача анализа вариационных рядов заключается в выявлении подлинной закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных для данного распределения факторов.
Если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал в группах, то графическое изображение приближается к некоторой плавной кривой, которая называется кривой распределения.
Кривая распределения
Теоретическая кривая распределения
Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также расчет показателей асимметрии и эксцесса.
При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии:
Его величина может быть положительной (для правосторонней асимметрии) и отрицательной(для левосторонней асимметрии).
При правосторонней асимметрии наиболее широко применяется, как показатель асимметрии, отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отношению в кубе:
Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Если асимметрия меньше 0,25, она считается незначительной.
Наличие асимметрии в генеральной совокупности проверяется с помощью определения оценки существенности на основе средней квадратической ошибки:
Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса, который показывает, насколько резкий скачок имеет изучаемое явление. Показатель эксцесса определяется на основе центрального момента четвертого порядка по формуле:
Если показатель эксцесса больше нуля, то распределениеостровершинное,и скачок считается значительным. Если коэффициент эксцесса меньше нуля, то распределение считаетсяплосковершинным,и скачок считается незначительным. Среднеквадратическая ошибка эксцесса показывает, насколько существенен скачок в явлении и рассчитывается по формуле:
Для определения асимметрии и эксцесса также используют упрощенные формулы, предложенные Линдбергом:
6.6. Структурные характеристики вариационного ряда распределения
К структурным характеристикам ряда распределения относятся структурные средние: мода, медиана, квартили, децили и перцентили.
1. Мода (Mo).
а) В дискретном ряду распределения мода определяется визуально.
Например: Определите моду в следующем распределении рабочих цеха по стажу:
Стаж, лет: 5 7 10 15 20 25
Число
рабочих, чел.: 10 8 12 5 4 1
Решение:
б) В интервальном ряду распределения визуально можно определить только интервал, в котором заключена мода, который называется модальным интервалом. Мода будет равна:
Например: По следующим данным о распределении 100 рабочих цеха по дневной выработке однотипных изделий определите моду:
Дневная
выработка, шт.: 50-54 54-58 58-62 62-66 66-70
Число
рабочих, чел.: 10 20 40 15 15
Решение:
2. Медиана (Me).
а) В дискретном ряду распределения.
Пример 1: Известны возрасты пяти молодых людей. Определите медиану. Запишем в виде ряда их номера по порядку и возраст:
№ по порядку: 1 2 3 4 5
Возраст, лет: 18 19 20 21 22
Решение:
Пример 2: Известны возрасты шести молодых людей. Определите медиану.
Запишем в виде ряда их номера по порядку и возраст:
№ по порядку: 1 2 3 4 5 6
Возраст, лет: 18 19 20 21 22 23
Решение:
Пример 3. Распределение рабочих цеха по стажу характеризуется следующими данными:
Стаж рабочих, лет: 3 5 10 15 20
Число рабочих, чел.: 5 10 20 25 15
Определите медиану.
Решение:
б) В интервальном ряду распределениямедиана рассчитывается по следующей формуле:
Например: Определите медиану по следующему распределению 100 рабочих цеха по дневной выработке однотипной продукции:
Дневная
выработка, шт.: 50-54 54-58 58-62 62-66 66-70
Число
рабочих, чел.: 10 20 40 15 15
Решение:
Свойство медианы: å(xi - Me) = min, т.е. сумма абсолютных членов ряда от Me есть величина наименьшая. Если  , Mo, Me совпадают, то совокупность симметрична. Me<при немногочисленной совокупности с очень высокими числами, если
< Me, то нет очень больших чисел и данные концентрируются.
Если совокупность неоднородна, то Mo трудно определяется. Если Mo < , то имеется немногочисленная совокупность с высокими числами, и Mo отчетливо выражена, когда совокупность однородна.
3. Квартили.
Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) и квартиль третьего порядка (верхний квартиль). Каждый из них отсекает соответственно ¼ и ¾ совокупности. Для расчета квартилей используются следующие формулы:
4. Децили.
Первый дециль отсекает 1/10 часть совокупности, а девятый дециль отсекает 9/10 частей. Рассчитываются децили по аналогичным формулам:
5. Перцентили – варианты, которые делят ранжированную совокупность на 100 частей.
| |||||
ТЕМА 7: ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
7.1. Понятие о выборочном наблюдении
7.2. Способы отбора единиц из генеральной совокупности. Виды выборки.
7.3.Ошибка выборки. Распространение результатов на генеральную совокупность
7.4. Малая выборка
7.5. Определение оптимального объема выборки
7.1. Понятие о выборочном наблюдении
Выборочный метод
Генеральная совокупность
Выборочная совокупность (выборка)
Изучаемая статистическая совокупность состоит из варьирующихся значений признака, состав выборочной совокупности может отличаться от состава генеральной совокупности. Это расхождение составляет ошибку выборки. Она зависит от следующих факторов: метода отбора единиц в выборочную совокупность; численности выборки, вариации и т.д.
При выборочном методе используют два обобщающих показателя:
Этапыисследования экономических явлений выборочным методом:
1. обоснование применения выборочного метода;
2. составление программы произведения статистического исследования выборочным методом; решение организационных вопросов отбора.
3. установление части единиц, подлежащих обследованию (доли выборки);
4. выбор способа выборки;
5. отбор единиц из генеральной совокупности;
6. статистическая обработка доли выборки (характеристика);
7. определение количественной оценки ошибки выборки.
8. распространение обобщающих выборочных характеристик на генеральную совокупность.
 Обозначения:
Основная задача выборочного исследования
7.2. Способы отбора единиц из генеральной совокупности
Выборка должна быть репрезентативной (представительной).
Основным условием выборочных исследований является предупреждение возникновения систематических (тенденциозных) ошибок возникающих вследствие нарушения принципа равных возможностей попадания в выборку каждой единицы генеральной совокупности. И поэтому очень важно выбрать способ отбора единиц из генеральной совокупности.
Существуют следующие способы отбора совокупности:
1. индивидуальный -
2. групповой отбор –
3. комбинированный отбор
Виды выборки. По правилам формирования выборной совокупности выборка может быть:
собственно – случайной
Важным условием репрезентативности этой выборки является то, что каждой единице генеральной совокупности предоставляется равная возможность попасть в выборочную совокупность. Именно принцип случайности попадания любой единицы генеральной совокупностив выборку предупреждает возникновение систематических (тенденциозных) ошибок выборки (например: примером для выборки является тираж выигрышей денежно – вещевой лотереи).
Собственно – случайная выборка может быть проведена по схемам повторного и бесповторного отбора.
Механическая -
Т.е. генеральная совокупность как бы механически делится на равные интервалы, а из каждого интервала (групп) отбираются лишь одна единица (например: выход готовых изделий с конвейера). Доказано, что по точности результатов механическая выборка подходит к собственному случайному способу отбора.
Типическая выборка.
Данная выборка дает более точные результаты, чем другие т.к. генеральная совокупность подразделяется на однородные группы.
Серийная (гнездовая) выборка.
Моментные выборочные исследования.
а) При одноступенчатой выборке
б) Многоступенчатая выборка
Комбинированная выборка.
7.3 Ошибка выборки. Распространение результатов
на генеральную совокупность
Средняя ошибка выборки (  ).
Итак, средняя ошибка выборки(отбор единицами) исчисляется:
1) При повторном отборе:
а) ошибка выборочной средней:
б) ошибка выборочной доли:
2) При бесповторном отборе:
а) ошибка выборочной средней:
б) ошибка выборочной доли
Рассчитанные ошибки необходимы для определения обобщающих показателей генеральной совокупности: и  Т.е. они отличаются от  и  на среднюю ошибку выборки .
Но данное определение нельзя гарантировать с абсолютной достоверностью, а лишь с определенной вероятностью. Например, вероятность определена числом 0,954. Это означает, что в 954-х случаях на 1000 генеральная доля () и генеральная средняя ( ) будут находиться в установленных пределах  и   . В остальных 46-ти случаях (1000-954=46) они могут выйти за эти пределы. Поэтому вероятность можно повысить, если расширить предел отклонений, приняв в качестве меры среднюю ошибку выборки, увеличенную в  раз, т.е. в  .  коэффициент доверия он определяется в зависимости от того, с какой доверительной вероятностью нужно гарантировать результаты выборочного обследования. Следовательно, на основании вышесказанного показатели и будут находиться в следующих пределах:
Самые распространенные случаи:
При   1
 0,954 2
0.997 3.
Русский математик А.М. Ляпунов (1857-1918)дал выражение конкретных значений множителя «t» для различных степеней вероятности в виде функции:
На практике пользуются готовыми таблицами этой функции, которые вычислены для различных значений t применительно к случаю нормального распределения совокупности. С увеличением t функция F(t) приближается к единице.
Итак, предельная ошибка выборки:
Независимо от вида выборки, на заключительном этапе определяются доверительные интервалы, в которых может находиться генеральная средняя (для количественных признаков) или генеральная доля (для качественных признаков). Доверительные интервалы – это область тех значений генеральных параметров, выход за пределы которой имеет весьма малую вероятность. Доверительные интервалы определяются по формулам:
Для генеральной средней:
Для генеральной доли:
|
