Упругое звено описывается дифференциальным уравнением вида
.
Примерами упругого звена (см. рис.45) могут служить пассивные четырехполюсники вида
Рис. 45. Примеры упругого звена.
Если к вышеприведенному дифференциальному уравнению упругого звена применить преобразование Лапласа, то для нулевых начальных условий получим
,
и следовательно, передаточная функция звена будет
(22)
Характеристики упругого звена существенно зависят от параметра . При λ > 1, т.е. при Т 0 > T звено называется упругим дифференцирующим, в противном случае, при λ < 1 – упругим интегрирующим.
Переходная характеристика упругого звена находится обычным путем.
.
Поскольку
,
то получим для h (t)
.
Для построения этой зависимости найдем значение h (t) при t = 0 и t → ∞:
Легко понять, что для упругого дифференцирующего звена (λ > 1) h (0) > h (∞), а для упругого интегрирующего звена (λ < 1) h (0) < h (∞). В соответствии с этим зависимости h (t) для λ > 1 и λ < 1 примет вид, изображенный на рис. 46 а, в.
|
|
а) λ >1 в) λ < 1
Рис. 46. Переходная характеристика упругого звена.
Весовая функция звена может быть определена из соотношения
.
В нашем случае
Первое слагаемое этого выражения равно нулю для всех t ≠ 0 (ибо δ (t) = 0 при t ≠ 0), а при t = 0
,
поэтому
Окончательно
Видно, что весовая функция (рис. 47) состоит из двух составляющих – первая - это δ – функция площадью kλ, проходящая по оси ординат, и вторая существует для всех t ≥ 0. Кроме того, из последнего выражении можно усмотреть, что весовая функция w (t) упругого звена зависит от параметра λ. Следовательно, графики w (t) дифференцирующего (λ >1) и интегрирующего (λ <1) упругих звеньев (рис. 47 а, б) будут иметь различный вид
а) λ >1 в) λ < 1
Рис. 47. Весовая функция упругого звена.
Частотная передаточная функция звена, исходя из (22), имеет вид
.
Следовательно, амплитудная частотная A() и фазовая частотная φ() характеристики могут быть представлены следующим образом
φφ1() – φ2()
Отсюда видно, что A() и φ() зависят от постоянных времени Т 0 и Т и, значит, от параметра . При λ >1, т.е. Т 0> T или , зависимости A(), φ() и w () представлены на рис. III. 36, а при λ < 1, т.е Т 0 < T или - на рис. 48. при построении A() при → ∞ следует иметь в виду, что
.
а) в) с)
Рис. 48. A(), φ() и w () упругого дифференцирующего звена (λ > 1).
а) в) с)
Рис. 49. A(), φ() и w () упругого интегрирующего звена (λ < 1).
Выражение для точной ЛАЧХ определяется следующим образом:
Видно, что передаточная функция звена имеет два постоянных времени Т 0 и Т, значит, асимптотическая ЛАЧХ содержит две сопрягающие частоты и , и три частотных участка.
|
|
Рассмотрим сначала случай λ >1, т.е. (рис. 50)
I участок
, T 0<1.
, T <1.
Тогда выражение для первой асимптоты с учетом этих неравенств примет вид
.
Это уравнение прямой, проходящей на I участке параллельно оси абсцисс на расстоянии от нее (если, допустим, примем, что k = 0.1, то L 1() = – 20 дб).
II участок
, T 0>1.
, T< 1.
С учетом этих неравенств уравнение для второй асимптоты получится из выражения для точной ЛАЧХ в следующем виде
Получим уравнение прямой, проходящей через конец первой асимптоты с наклоном +20.
III участок
, T 0>1.
, T >1.
Для этого участка уравнение асимптоты примет вид
Это выражение характеризует горизонтальную прямую, проходящую через конец второй асимптоты.
Рис. 50. ЛАЧХ упругого дифференцирующего звена (λ >1).
Построение ЛАЧХ можно сильно упростить, если воспользоваться нижеследующей методикой.
Первая асимптота ЛАЧХ заканчивается на сопрягающейся частоте , которой соответствует постоянная времени . Из выражения для передаточной функции (22) видно, что эта постоянная времени расположена в скобке , находящейся в числителе. Известно мнемоническое правило, что если скобка находится в числителе, то ЛАЧХ на частоте претерпевает излом на + , а если в знаменателе, то .
В нашем случае , и, следовательно, ЛАЧХ “ломается” на +20. Поэтому, раз наклон первой асимптоты был ноль, а на частоте ЛАЧХ изменила его на +20, то наклон ЛАЧХ на II участке будет 0+20= 20. Сопрягающей частоте соответствует постоянная времени Т. с, которая, как видно из (III. 1.22) расположена в скобке, находящейся в знаменателе. Значит, на частоте c2 ЛАЧХ претерпевает излом на -20и наклон ЛАЧХ на III участке будет -20+20= 0.
Рассмотрим теперь случай λ <1, т.е (рис. 51).
I участок.
, T< 1.
, T 0 <1.
Выражение для первой асимптоты выглядит следующим образом.
.
Итак, первая асимптота – прямая линия, параллельная оси частот и отстоящая от нее на расстоянии (например при k = 1000 ). Первая асимптота заканчивается частотой , которой соответствует постоянная времени Т, расположена в скобке, находящейся в знаменателе передаточной функции звена. Значит, ЛАЧХ на частоте претерпевает излом на -20, а вторая асимптота будет проходить с наклоном 0 –20= – 20до сопрягающей частоты . Этой частоте соответствует постоянная времени Т0, расположенная в скобке числителя (22). Следовательно, ЛАЧХ на частоте “изломается” на +20и суммарный наклон ЛАЧХ на III участке будет -20+ 20= 0.
Рис. 51. ЛАЧХ упругого интегрирующего звена (λ < 1).
Из сказанного понятно, что на всех участках, кроме первого, определить наклон асимптот ЛАЧХ указанным способом не представляет сложности. Позже в III.2 будет показано, как также просто строить и первую асимптоту.