Колебательное звено

Звено называют колебательным, если связь между входной x (t) и выходной z (t) переменными определяется дифференциальным уравнением вида

причем корни характеристического уравнения, отвечающего этому дифференциальному уравнению

должны быть комплексно сопряженными, т.е. должно выполнятся условие . Если это неравенство имеет противоположный знак, то корни будут вещественными и вместо колебательного звена получится последовательное соединение двух инерционных звеньев.

Часто дифференциальное уравнение колебательного звена записывают в ином виде, введя степень затухания (степень успокоения) ξ (при ξ >1 получается два инерционных звена)

В операторной форме это уравнение может быть записано в виде

и значит, передаточная функция звена будет такова

(11)

В качестве примера колебательно звена можно привести пассивный RLC – контур (рис.36).

Рис.36. Пример колебательного звена.

Интересен бывает частный случай колебательного звена, когда степень затухания ξ = 0, такое звено называют консервативным. Его передаточная функция получается при ξ = 0 из (11)

(12)

Переходная характеристика колебательного звена определяется выражением

Представление выражения в виде понадобилось потому, что в справочниках по операционному исчислению дается следующие стандартные выражения для обратного преобразования Лапласа

(13)

Получить введенные неизвестные коэффициенты α и β через заданные ξ и Т ₀ можно из выражения

приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p

Отсюда

(14)

Разложим выражение в фигурных скобках для h (t) на простейшие дроби

где А₁, А₂, А₃ – неопределенные пока коэффициенты, подлежащие определению.

Приведем к общему знаменателю правую часть этого выражения, и поскольку знаменатели слева и справа окажутся одинаковыми, приравняем числители и приведем подобные.

Затем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной р, получим

. (15)

Из третьего равенства (15) и (14) следует, что

Тогда из остальных равенств (15) найдем

А₂= – А₁= – k

А₃ = – 2αА₁= – 2α k.

Отсюда, с учетом найденных значений для А₁, А₂, А₃, получим, имея в виду (13), и (14)

(16)

Эта переходная характеристика звена изображена на рис. 37.

Рис. 37. Переходная характеристика колебательного звена.

Прямо из рисунка можно определить параметр k (коэффициент усиления звена) и Т ^* – период колебаний процесса

На этом же рисунке нанесены пунктиром экспоненты затухания колебаний . В соответствии с этими экспонентами изменяется (здесь уменьшается) с течением времени амплитуда колебаний переходного процесса.

Для консервативного звена (ξ =0) экспоненты превращаются в горизонтальные линии и, следовательно, затухания колебаний не происходит (рис.38). это, впрочем, видно и из (16), если положить там ξ =0

Рис. 38. Переходная характеристика

консервативного звена.

Весовая функция колебательного звена находится из выражения

(17)

Рис. 39. Весовая функция колебательного звена.

Для случая ξ = 0, т.е консервативного звена, весовая функция найдется из выражения (17)

Эта характеристика изображена на рис. 40.

Рис. 40. Весовая функция консервативного звена.

Для исследования колебательного звена в частотной области найдем частотную передаточную функцию w (j ) заменой в (11) р→ j

Отсюда легко получается амплитудная частотная A() и фазовая частотная φ() характеристики звена.

(18)

(19)

Из (18) видно, что АЧХ A() существенно зависит от степени затухания ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) при с^-1 обращается в бесконечность (рис.41).

Рис. 41. АЧХ Колебательного звена.

В отношении зависимостей осей частоты ФЧХ φ() следует сказать следующее. Известно, что главное значение

y = arctg(x) для положительных x изменяется от 0 до . Остальные значения y получаются из главного путем прибавления к нему величины + k π, где k =1,2,...

Полученное в (19) значение φдает главное значение арктангенса от 0 до – в диапазоне частот с^-1 (при с^-1 знаменатель φ() обращается в ноль, а само значение φ). Для определения φ() для частот, больших с^-1, надо, следовательно к главному значению добавлять + k π (в нашем случае возьмем k = 1 и знак “минус”, т.к. речь идет о возрастании аргумента функции φ() в отрицательную сторону). Итак, математическое выражение, характеризующие ФЧХ φ(), будет разным для различных областей частот

φ (20)

Из (20) видно, что на поведении φ() сильно сказывается параметр ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) для диапазона частот с^-1 φ() = 0, а для диапазона с^-1 φ() = – π. На рис. 42 изображены φ() для разных значений ξ.

Рис. 42. ФЧХ колебательного звена.

АФХ W (j ) колебательного звена можно построить, используя уже полученные значения A() и φ(). Отметим три характерные точки рассматриваемой АФХ.

Из (18) легко получить, что А(0) = k, , А(∞) = 0. Аналогично из (20) получим φ(0) = 0, φи φ(∞) = – π. Тогда качественно по этим трем точкам построим АФХ звена (рис.43)

Рис. 43. АФХ колебательного звена.

Хотя A() и φ()существенно зависят от степени затухания ξ, из (18) можно усмотреть, что для = 0 и = ∞ A(∞) не зависят от ξ, а (20) удостоверяет, что φ() не зависит от ξ при = 0, с^-1 и при = ∞. Для остальных значений частоты A() и φ() зависят от ξ, в частности, . Это означает, что с уменьшением ξ значение увеличивается, а сама АФХ с уменьшением ξ “разбухает”. Рассматривая предельный переход, можно сказать, что при ξ = 0 на частотах с^-1происходитразрыв АФХ и низкочастотная ее часть (т.е. ) будет проходить по положительной част и оси абсцисс, начиная с точки k в право, а высокочастотная () – по отрицательной полуоси абсцисс из – ∞ до 0. Это же можно усмотреть и из рис. III. 30 для ξ = 0: для φ() = 0, а для φ() = – π.

Выражение для точной ЛАЧХ базируется на основе соотношения

(21)

Из выражения (21)для передаточной функции видно, что звено имеет одну постоянную времени Т ₀ и, значит, одну сопрягающую частоту с^-1 и два частотных участка.

I участок

, T ₀<1.

Для получения первой асимптоты надо в выражение для точной ЛАЧХ подставить это условие T ₀<1, справедливое для первого участка.

Итак, первая асимптота есть прямая, проходящая параллельно оси абсцисс на расстоянии от нее.

II участок.

, T ₀>1.

Тогда выражение для второй асимптоты будет

Таким образом, вторая асимптота есть прямая линия с наклоном – 40 , проходящая через конечную точку первой асимптоты.

На рис. 44 представлена асимптотическая ЛАЧХ. Выше для инерционного звена указывалось, что максимальное отличие асимптотической ЛАЧХ от точной не превышает 3,03 дб. Для колебательного звена, из-за зависимости его характеристик от параметра ξ, эти отличия могут быть много больше, так что имеются специальные таблицы, которые предназначены внести поправки для различных ξ в асимптотические ЛАЧХ, чтобы приблизить их к точным. На рис.44 точные значения ЛАЧХ (в том числе и для ξ =0) нанесены пунктиром. Видно, что максимальные отличия точной ЛАЧХ от асимптотической находятся вблизи частоты с^-1, вдали же от этой частоты различия практически исчезают.