Основные законы алгебры логики

Основные законы алгебры логики являются двойственными: относительно логического сложения и относительно логического умножения. Ими являются:

1. Переместительный (коммутативный) закон:

- относительно сложения

- относительно умножения

2. Сочетательный (ассоциативный) закон:

- относительно сложения

- относительно умножения

3. Распределительный (дистрибутивный) закон:

- относительно сложения

- относительно умножения

4. Закон инверсии (де Моргана):

- относительно сложения

- относительно умножения

5. Закон повторения (идемпотентности):

Дополнительные законы:

Дополнительные законы:

6. ЗакоПереместительный (коммутативный) закон:

7. Сочетательный (ассоциативный) закон:

8. Распределительный (дистрибутивный) закон:

9. Закон инверсии (де Моргана):

10. Закон повторения (идемпотентности):

6.Закон поглощения:

7.Закон склеивания:

8. Закон обобщенного склеивания:

Кроме перечисленных законов большое значение в алгебре логики имеют так называемые соотношения 0 и 1. Напомним, что в алгебре логики символом 1 обозначается всегда истинное суждение (есть сигнал), а символом 0 – всегда ложное суждение (нет сигнала).

На основании алгебры логики очевидны следующие соотношения (аксиомы алгебры логики):

Последние соотношения (относительно a) легко доказываются подстановкой вместо a его возможных значений – 0 и 1.

Рассмотренные законы применимы не только к отдельным переменным, но и к группам переменных, объединенных операциями алгебры логики.

В алгебре логики установлен порядок выполнения действий. При отсутствии в выражении скобок первыми должны выполняться операции отрицания (инверсии), затем операции конъюнкции и последними – операции дизъюнкции. При наличии в выражении скобок в первую очередь производятся операции внутри скобок.

При преобразовании логических функций зачастую приходится производить операцию инверсирования их.

Логическая функция будет инверсной по отношению к функции f, если соблюдаются два соотношения:

Следовательно, если на каком-либо наборе переменных функция f принимает значение 0, то функция равняется 1 и наоборот.

Для контактных схем это означает, что если при данном состоянии реле цепь, соответствующая f, замкнута, то цепь, соответствующая – разомкнута и наоборот.

Под инверсированием (логическим отрицанием) функции f понимается нахождение функции , удовлетворяющей указанным соотношениям.

На основании законов инверсии можно сформулировать следующий порядок инверсирования булевых функций, записанных в базисе И, ИЛИ, НЕ.

При инверсировании булевой функции все знаки дизъюнкции заменяются на знаки конъюнкции и наоборот – при одновременном инверсировании каждого элемента. При этом для сохранения последовательности действий необходимо соответствующим образом вводить или исключать скобки.

Другими словами, логическое инверсирование производится на основе закона инверсии, который последовательно применяется к отдельным частям функции в порядке, указанном логическими операциями и определяемом самой функцией. Например, дана функция Найти

Очевидно, F – конъюнкция a и Значит, первым применяем закон инверсии относительно умножения, далее – относительно сложения во второй части и т.д.:

Итак,