Системы счисления

Система счисления (СС)– это способ представления чисел с помощью специально условленных знаков (цифр). Кроме двоичной системы счисления, использующей двоичный алфавит, в цифровой технике используются и другие. Рассмотрим их более подробно. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных – вес каждого разряда зависит от его позиции в числе. У непозиционных – каждый разряд имеет определенное значение, не зависящее от позиции в числе. К позиционным относятся, например, десятичная, двоичная системы счисления. К непозиционным – римская, двоично-десятичная системы счисления.

Любая позиционная система счисления характеризуется основанием, представляющим собой количество возможных цифр (букв алфавита), допустимым в системе. Например, в десятичной системе счисления основание равно 10, т. к. цифры могут принимать значения от «0» до «9» (всего десять возможных значений); в двоичной системе счисления основание равно 2, т. к. цифры могут принимать два значения: «0» и «1». Любое неотрицательное десятичное число может быть представлено в позиционной системе счисления по формуле:

, (1)

Где - десятичный эквивалент числа, - значение n-го разряда, - основание системы счисления.

Таблица 2.1

DEC	BIN	OCT	HEX	BCD
			0H
			1H
			2H
			3H
			4H
			5H
			6H
			7H
			8H
			9H
			AH	0001 0000
			BH	0001 0001
			CH	0001 0010
			DH	0001 0011
			EH	0001 0100
			FH	0001 0101

В цифровой технике наиболее часто применяются двоичная система счисления (BIN), десятичная система счисления (DEC), шестнадцатеричная система счисления (HEX), восьмеричная (OCT) и непозиционная двоично-десятичная система счисления. В двоичной системе каждое число представляется последовательностью цифр «0» и «1». В шестнадцатеричной системе каждое число представляется последовательностью цифр от «0» до «9» и далее буквами латинского алфавита: цифра 10 –A, цифра 11 - B, цифра 12 - C, цифра13 – D, цифра 14 – E, цифра 15 – F. Иногда используется восьмеричная система счисления. При этом числа представляются в виде последовательностей цифр от «0» до «7». В двоично-десятичной системе счисления каждая цифра десятичного числа представляется соответствующей последовательностью двоичных чисел. Пример представления первых шестнадцати десятичных чисел в различных системах счисления представлен в таблице 2.1. При записи числа в HEX представлении в конце каждого числа добавляют букву H или h. Для перевода любого двоичного числа в HEX систему, необходимо, начиная, справа, разбить его на группы по четыре цифры и каждую группу представить цифрой в соответствии с таблицей. Для перевода двоичного числа в восьмеричную систему необходимо каждую группу из трех цифр, начиная, справа представить восьмеричным эквивалентом в соответствии с таблицей 2.1.

Числа в двоичном и шестнадцатеричном представлениях используются в вычислительных устройствах при обработке информации и вычислительных процессах. Числа в двоично-десятичном формате используются при выводе результатов обработки на индикаторные устройства, а также в случаях необходимости по разрядного преобразования десятичных чисел.

Использование двоичной системы счисления в цифровых устройствах обусловлено простотой выполнения математических операций, хотя само представление по-сравнению с десятичной системой имеет более громоздкую запись.

Существует два основных метода перевода чисел из одной СС в другую: табличный и расчётный.

Первый метод основан на составлении специальных таблиц соответствия чисел в различных СС, примером такой таблицы является таблица 1. Такие таблицы удобны на начальном этапе ознакомления с новой СС, но являются громоздкими.

Расчётный метод является более универсальным, но применяется только к позиционным СС. При использовании расчётного метода могут встретиться три случая: перевод целых чисел, перевод правильных дробей, перевод неправильных дробей.

Правило перевода целых чисел из одной позиционной СС в другую. Исходное целое число необходимо последовательно делить на основание новой СС до тех пор, пока не получится частное, у которого целая часть равна нулю. Деление необходимо производить в исходной СС. Результат перевода записывается из остатков от последовательного деления, причём последний остаток будет старшим разрядом числа в новой СС.

Процесс деления сначала самого числа, а затем целых частей получаемых частных на один и тот же делитель называется последовательным делением.

Пример. Перевести десятичное число X = 29 в двоичную и шестнадцатеричную СС.

Стрелкой показан порядок записи числа в новой СС.

Ответ: X = 29₍₁₀₎ = 11101₍₂₎ = 1D₍₁₆₎.

Правило перевода правильных дробей из одной позиционной СС в другую.

Исходную правильную дробь необходимо последовательно умножать на основание новой СС до тех пор, пока в новой дроби не будет нужного количества цифр, которое определяется требуемой точностью перевода. Результат перевода записывается из целых частей произведений, получающихся при последовательном умножении, причём первая целая часть будет старшим разрядом результата. Умножение выполняется в исходной СС.

Процесс умножения сначала самой исходной дроби, а затем дробных частей получаемых произведений на один и тот же множитель называется последовательным умножением.

Пример – Перевести в двоичную и шестнадцатеричную СС правильную дробь X = 0,375₍₁₀₎ с точностью четыре знака после запятой.

Стрелкой показан порядок записи правильной дроби в новой СС.

Ответ: X = 0,375₍₁₀₎ = 0,0110₍₂₎ = 0,60₍₁₆₎.

При переводе неправильных дробей отдельно преобразуют целую и дробную части по соответствующим правилам, приведённым выше, а затем записывают их через запятую в новой СС.

Пример – X = 29,375₍₁₀₎ = 11101,0110₍₂₎ = 1D,60₍₁₆₎.

Рассмотренный расчётный метод удобен в том случае, если исходной является десятичная СС. Если же перевод осуществляется из недесятичной СС, то вычисления затруднительны. В этом случае для преобразования чисел можно использовать формулу (1), причём расчёты ведутся в новой СС.

Пример – Перевести в десятичную СС двоичное число X = 11101,011.

X = 11101,011₍₂₎ = 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ + 0×2^–1 + 1×2^–2 +

+ 1×2^–3 =16 + 8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 = 29,375₍₁₀₎.

Таким образом, для перевода десятичных чисел в другую позиционную СС используется метод последовательного деления-умножения, а при обратном переводе исходное число записывается в виде полинома, и выполняются необходимые расчёты.