Принцип Д'Аламбера для механической системы

Рассмотрим материальную точку массой т_k системы, состоящей из N точек. Обозначим ускорение этой точки a_k, равнодействующую внешних сил через , равнодействующую внутренних сил, приложенных к той же точке через . Реакции связей входят в . Тогда принцип Д'Аламбера будет иметь вид

,

где .

Складывая почленно полученные уравнения для всех N точек, получим

k = l,2,...,N.

В этом уравнении первая сумма равна главному вектору внешних сил, приложенных к системе; вторая сумма равна нулю, поскольку геометрическая сумма всех внутренних сил системы равна нулю; последняя - главному вектору сил инерции. Таким образом,

,

т.е. в каждый момент времени сумма главных векторов внешних сил и сил инерции движущейся системы равна нулю.

Выберем произвольный полюс О и проведем из него к точке т_к радиус-вектор . Умножая каждое слагаемое принципа Д'Аламбера векторно на соответствующий радиус-вектор слева и складывая все N полученных таким образом уравнений, имеем

, k = l,2,...,N

Первая сумма равна главному моменту внешних сил, приложенных к системе; вторая сумма равна нулю, а последняя -главному моменту сил инерции. Следовательно,

,

т.е. в каждый момент времени сумма главных моментов внешних сил и сип инерции движущейся механической системы равна нулю.

Двум векторным уравнениям соответствуют шесть уравнений в проекциях на оси декартовых координат

, ,

, ,

Движение твердого тела, как частный случай механической системы, вполне определяется этими шестью уравнениями. Если рассматривается система, состоящая из нескольких тел, то можно составить соответствующие уравнения для каждого тела в отдельности.