2015-01-21
1036
Постановка задачи: 
(1), где 
: 
, i = 1 
s.
Положим 
Опр.1 Функция 
вида 
называют функцией Лагранжа для (1).
Необходимые условия локального максимума формулируются теоремой:
Теорема 1 (Каруша-Джона): Пусть 
и 
точка локального минимума функции 
на 
. Тогда существует вектор 
такой что
1. 
, (условие стационарности);
2. 
(условие дополняющей нежесткости);
3. 
(условие неотрицательности);
4. 
, (условие нормировки).
С учетом 
ограничений равенств и условия нормировки количество неизвестных совпадает с количеством равенств в формулировке теоремы 1.
Достаточные условия локального минимума формулируются теоремой:
Теорема 2: Пусть 
Пара 
такова, что
1. 
2. 
3. 
4. .
5. 
где
, а 
, 
.
Тогда 
является точкой локального минимума функции 
на множестве 
.
Замечание. Всякое равенство 
эквивалентно двум неравенствам 
и 
, а всякое неравенство 
эквивалентно равенству 
. Это позволяет свести задачу (1) к задаче с ограничениями типа неравенств:
, 
, 
(2)
либо к задаче с ограничениями равенствами: 
, 
(3)
Условия локального минимума в случае ограничений равенств (
) принимают вид:
Теорема 
: пусть 
на 
. Тогда 
вектор 
, что 
.
Теорема 
: Пусть 
. Пара 
удовлетворяет условиям:
1. 
; 2. 
;
3. 
; 4. 
, 
.
Тогда 
- точка локального минимума 
на 
.
Опр.2: Локальный минимум для задачи с ограничениями типа равенств (точка ) называется регулярным, если набор векторов 
линейно независим.
Теорема 3: Пусть - точка регулярного локального минимума. Тогда в теореме 
в условиях нормировки можно сразу положить 
.
Док-во:
Пусть 
. Тогда справедливо равенство 
. Т.к. вектор 
, то не все 
равны 0. Это противоречит линейной независимости векторов . Таким образом 
и . ч.т.д.
