Постановка задачи: (1), где : , i = 1 s.
Положим
Опр.1 Функция вида называют функцией Лагранжа для (1).
Необходимые условия локального максимума формулируются теоремой:
Теорема 1 (Каруша-Джона): Пусть и точка локального минимума функции на . Тогда существует вектор такой что
1. , (условие стационарности);
2. (условие дополняющей нежесткости);
3. (условие неотрицательности);
4. , (условие нормировки).
С учетом ограничений равенств и условия нормировки количество неизвестных совпадает с количеством равенств в формулировке теоремы 1.
Достаточные условия локального минимума формулируются теоремой:
Теорема 2: Пусть Пара такова, что
1.
2.
3.
4. .
5. где
, а , .
Тогда является точкой локального минимума функции на множестве .
Замечание. Всякое равенство эквивалентно двум неравенствам и , а всякое неравенство эквивалентно равенству . Это позволяет свести задачу (1) к задаче с ограничениями типа неравенств:
, , (2)
либо к задаче с ограничениями равенствами: , (3)
Условия локального минимума в случае ограничений равенств () принимают вид:
|
|
Теорема : пусть на . Тогда вектор , что .
Теорема : Пусть . Пара удовлетворяет условиям:
1. ; 2. ;
3. ; 4. , .
Тогда - точка локального минимума на .
Опр.2: Локальный минимум для задачи с ограничениями типа равенств (точка ) называется регулярным, если набор векторов линейно независим.
Теорема 3: Пусть - точка регулярного локального минимума. Тогда в теореме в условиях нормировки можно сразу положить .
Док-во:
Пусть . Тогда справедливо равенство . Т.к. вектор , то не все равны 0. Это противоречит линейной независимости векторов . Таким образом и . ч.т.д.