Конечномерные экстремальные задачи без ограничений

Методы оптимизации. Ответы на вопросы.

Постановка задачи: .

Опр.1 Пусть определена на . Она дифференцируема в точке , если вектор , для которого таких, что , имеет место равенство:

, где при .

Обозначения вектора (градиента):

Опр.2: непрерывно дифференцируема на множестве (3) D, если она определена на D и дифференцируема в каждой точке множества D и при

Опр.3: , определенная на , дважды непрерывно дифференцируема в точке х, если наряду с существует симметрическая матрица размерности nxn, что таких, что имеет место , где при ,

Опр.4: Если определена на D и дважды дифференцируема в и при , то дважды непрерывно дифференцируема.

Обозначения: - множество непрерывно дифференцируемых функций, - множество дважды непрерывно дифференцируемых функций на D.

Необходимые условия локального минимума дифференцируемой функции:

Теорема 1: (Ферма) Пусть , существует окрестность точки , целиком содержащаяся в множестве D, и дифференцируема в точке . Тогда .

Док-во:

Из определения locmin следует существование окрестности , что . Из условия теоремы , что для всех будет справедливо . Из этого включения и условия вытекает