2015-01-21
251
Задача 1. Пусть 
- открытая внутренняя область; 
(точки множества 
обозначим 
), 
- заданная функция; 
, 
- фиксирование точки, 
. Функцию 
назовем допустимой 
, если 
, 
, 
, 
. Каждой 
поставим в соответствие действительное число 
. Требуется определить min функционала I на множестве 
.
Задача 1 – простейшая вариационная задача.
Замечание: 
, 
множество всех определённых на 
функций, имеющих производные до r порядка включительно, которая допускает разрывы первого рода в конечном числе точек и имеет в них одностороннюю непрерывность.
Краткая запись задачи 1: 
, 
, 
.
Замечание2 Если в 
определить норму так:
1) 
, 2) 
, а расстояние
2) 
и 2) 
, то можно вести речь о сильном и слабом локальном минимуме.
Опр1 Локальный минимум в задаче1 сильный (слабый), если окрестность, фигурирующая в его определении задаётся с помощью расстояния нулевого (
) или (первого (
)) порядка.
Теорема1 (необходимые условия локального минимума 1 порядка). Пусть 
и 
доставляет локальный минимум в задаче1. Тогда 
.
