Уравнение Эйлера-Лагранжа

Лемма 1 (Дюбуа-Реймона) Для выполнения соотношения (1) при некоторой функции .

Лемма 2. Для выполнения соотношения (2) при некоторых - точки непрерывности функции .

Опр.1 Функция удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Эйлера-Лагранжа, отвечающего основной функции , если . (3)

Теорема 1. Если достигает на локального (слабого) минимума и , то константа , что удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Эйлера-Лагранжа.

Док-во:

Пусть Справедливость доказываемой теоремы вытекает из (Т 1, п. 10.2) и леммы2.

Замечание. Если в (3) , то (3) можно продифференцировать по : (4)

Опр.2 удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера-Лагранжа (4), отвечающему , если эта функция обращает (4) в тождество.

Теорема 2. Пусть в задаче 1 достигает на локального (слабого) минимума и . Тогда удовлетворяет (4).

Теорема 2 является следствием теоремы 1.

Теорема 3 (Необходимые условия локального минимума 2 порядка). Если в задаче 1 , в существует вторая вариация функционала , а он сам достигает в нем локального минимума, то вторая вариация функционала в положительна на .

Док-во:

Справедливость Т3 следует из (утверждения 2) Т.1 п. 10.1) и того, что доставляет локальный минимум . Введем обозначения: для

20. Условия Лежандра и Якоби

Опр.1 удовлетворяет условию Лежандра, если и имеет место неравенство . (1)

Если (1) строгое, то удовлетворяет сильным условиям Лежандра.

Теорема 1. Если и достигает на локального (слабого) минимума, то удовлетворяет условию Лежандра.