Теорема 1 (теорема Пуассона)

Если в схеме независимых испытаний Бернулли число испытаний n®¥, а р®0, причем np=l, где l>0, то вероятность

, (7)

при любых m=0,1,2...

Доказательство

При n®¥: (n-m+1)(n-m+2)... n®n^m, , отсюда: , при n®¥.‡

Формула (7) является законом распределения Пуассона.

Замечание: Формулой (7) для приближенных расчетов P_n(m) следует пользоваться при n>>1 и p<<1.

Теорема 2 (локальная теорема Муавра-Лапласа):

Пусть в схеме независимых испытаний Бернулли число n®¥, р - фиксировано, причем р¹ и р¹1. Тогда для всех x, xÎ(-¥,¥) и справедливо соотношение

(8)

Формула (8) описывает закон распределения Гаусса или нормальное распределение. Эта ф ормула приближенная, наибольшая точность расчетов вероятности обеспечивается при p=q=1/2 и при фиксированных n и m.